Exercícios Resolvidos de Modelagens com Equação Separável

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Enunciado

Suponha que uma gota d’água esférica evapore a taxa proporcional à área de sua superfície. Se o raio mede originalmente mm e h depois foi reduzido a mm, encontre a expressão do raio em função do tempo.

Passo 1

A gota d’água evapora a uma taxa proporcional a área da superfície. Então, podemos representar a área da superfície pela relação

Em que é a área da superfície no instante inicial e é uma constante a determinar.

Passo 2

Vamos começar com , de forma geral, a área da superfície é dada pela expressão

Como no caso o raio inicial é mm, então:

Passo 3

Agora vamos para usando os dados do problema. Considerando em horas, para h, o raio vai ter reduzido para mm, então temos:

Sendo:

Assim, vamos ter:

E nossa expressão para área será:

Passo 4

Legal, encontramos a expressão para área, mas o problema quer saber do raio, substituímos a relação então:

Isolando o raio, teremos:

Resposta

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