EDO linear de 1ª Ordem
Suponha que a taxa de crescimento de uma certa população varia com o tempo, e que o número de indivíduos da mesma no instante satisfaz a equação diferencial:
i) Se encontre(ou estime) o instante no qual a população dobra.
Determine se o tempo no qual o número de indivíduos dobra dependa da população inicial.
ii) Suponha que a parcela na equação diferencial é substituída por , isto é, a variação na taxa de crescimento tem uma frequência substancialmente maior. Qual é o efeito dessa mudança no tempo de duplicação da população ?
Passo 1
i) Bom, a EDO
É separável, já que
Integrando ambos os lados, ficamos com
Passo 2
Como a condição inicial é temos que
Então,
O instante no qual a população dobre é dado por
Então
Pegando só a raiz positiva já que não podemos ter tempo negativo e ficamos com
Que representa o tempo no qual a população dobra.
Passo 3
Suponha que a população inicial é dada por
Então, se é o tempo que a população dobra então
O que implica que
E portanto, não depende de .
Passo 4
ii) Ao fazer a substituição temos que
E portanto,
E o tempo de duplicação fica
Portanto o tempo de duplicação diminui.
Resposta
i)
Não depende de .
ii)
O tempo de duplicação diminui.