Exercícios Resolvidos de Modelagens com Equação Separável

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Enunciado

Considere o modelo logístico de dinâmica populacional:

d N d t = λ N - λ K N 2

onde λ , K são constantes positivas e N ≥ 0 .

  1. Obtenha soluções para o problema de valor inicial N 0 = N 0 ;
  2. Esboce o gráfico do espaço de fase ( N x N ) para o modelo, e determine os pontos de equilíbrio ( N = N * tal que d N d t N * = 0 ) , e classifique estes pontos como estáveis ( N ( t ) → N * quando t → + ∞ ) ou instáveis ( N ( t ) ↛ N * quando t → + ∞ )

Passo 1

a) Para encontrar a nossa solução temos que resolver a EDO, pra isso vamos separar a equação. Dessa forma:

d N d t = λ N - λ K N 2

d N N ( K - N ) = λ K d t

Passo 2

Vamos integrar ambos os lados e resolver cada uma das integrais indefinidas. Resolvendo a equação da esquerda

∫ d N N ( K - N )

Vamso utilizar o método das frações parciais, assim:

∫ d N N ( K - N ) = ∫ 1 K 1 N + 1 K - N

Temos:

∫ 1 K 1 N + 1 K - N = 1 K ln ⁡ N + ln ⁡ K - N = 1 K ln ⁡ N K - N

Passo 3

Resolvendo o lado direito da igualdade temos.

∫ λ K d t = λ K t

Igualando as duas integrais que calculamos.

1 K ln ⁡ N K - N = λ K t + C

Essa constante C que a gente adiciounou foi justamente pelas constantes das integrais indefinidas que nós não colocamos lá atrás.

N K - N = e K C e λ t = 1 b e λ t

Tomando a constante de integração b como positiva se N < K e negativa se N > K :

N K - N = 1 b e λ t   ∴ N = K 1 + b e - λ t

Do PVI N 0 = N 0 temos:

N 0 = K 1 + b ∴ b = K N 0 - 1

Assim, podemos escrever:

N = K 1 + K N 0 - 1 e - λ t

Passo 4

b)Esboçando o gráfico temos:

Vemos portanto que, nas proximidades de N = 0 , N tende a se afastar e portanto este é

um ponto de equilíbrio instável, e que, nas proximidades de N = K , N tende a se

aproximar (de ambos os lados), e portanto este é um ponto de equilíbrio estável.

Resposta

a)

N = K 1 + K N 0 - 1 e - λ t

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