Sabemos que, se uma solução particular da equação ordinária de ordem:
Então é a solução geral, onde satisfaz a equação linear:
Obtenha a partir de , supondo que satisfaz .
Obtenha a solução geral da equação logística
Sabendo que é uma solução particular. Use o resultado acima!
Determine os pontos de equilíbrio desta equação logística, e os classifique quanto a estabilidade.
Passo 1
Obtenha a partir de , supondo que satisfaz .
Bom, vamos então começar com a primeira equação que foi dada:
Queremos dizer que é solução geral dessa equação. Então temos que:
Agora, nós só temos que substituir na EDO ali em cima, lembrando que é solução da EDO também.
Passo 2
Ajeitando o lado direito dessa equação:
Dá uma olhada nesses termos sublinhados:
Cara, como é solução, ele respeita aquela equação , então nós podemos cortar esses termos sublinhados! Ficando com:
Vamos ajeitar esses caras agora.
Colocando em evidência:
Finalmente, trocando o sinal:
Passo 3
Obtenha a solução geral da equação logística
Sabendo que é uma solução particular. Use o resultado acima!
Cara, vamos tentar comparar essa equação aqui com aquela , ok?
Perceba que:
Passo 4
Agora, vamos dizer que , como na letra .
Então, no final das contas, queremos encontrar quem é esse , para descobrir quem é . A gente sabe que respeita a seguinte equação:
Substituindo valores:
Vamos escrever isso bonitinho:
Então,
Passo 5
Determine os pontos de equilíbrio desta equação logística, e os classifique quanto a estabilidade.
Para começar, precisamos ver em quais pontos :
Passo 6
Agora a gente analisa o sinal da segunda derivada:
Para
Como a segunda derivada é maior que zero, esse é um ponto de equilíbrio instável.
Para :
Como a segunda derivada é menor que zero, esse é um ponto de equilíbrio estável.
Resposta