Considere a lei de resfriamento de Newton, , em que a temperatura do meio ambiente varia com o tempo. Suponha que a temperatura inicial de um corpo seja e que a temperatura inicial do meio ambiente seja e , em que seja uma constante.
- Encontre a temperatura do corpo em qualquer instante .
- Qual é o valor limite da temperatura quando ?
- Qual o valor limite de quando ?
Passo 1
Então, pessoal, vamos primeiro entender o problema para depois resolvê-lo. Note que o problema primeiro nos forneceu uma equação mais geral referente a lei de resfriamento de Newton,
Seguindo com o enunciado, ele descreve uma situação em particular onde , pode ser descrita por,
Então, galera, o que a gente precisa fazer é jogar essa situação particular na lei de resfriamento de Newton. A partir daí, nos podemos resolver a EDO, integrando de ambos os lados, chegando a uma equação que descreve temperatura do corpo em qualquer instante .
Até aqui resolvemos a letra (a). As letras (b) e (c), a gente resolve aplicando o limite a partir da equação encontrada em (a), ok?
Então vamos lá!
Passo 2
- Para encontrar a nossa solução temos que resolver a EDO, pra isso vamos primeiro substituir na nossa lei de resfriamento de Newton. Dessa forma:
Vamos agora escrever a equação naquele formato pra resolução de equação separável. Passando tudo que é para um lado e no outro o que é função do tempo ()
Vamos integrar ambos os lados e resolver cada uma das integrais indefinidas!
Passo 3
Resolvendo a equação da esquerda
Repara que e representam a temperatura inicial do corpo e do meio ambiente, respectivamente. Deste modo, esses valores são constantes. Deste modo, apenas o varíavel e o resto são constantes. Lembrando que,
No caso da nossa integral teriamos,
Substituindo:
Passo 4
Resolvendo o lado direito da igualdade temos.
Igualando as duas integrais que calculamos.
Essa constante que a gente adicionou foi justamente pelas constantes das integrais indefinidas que nós não colocamos lá atrás. Para sumir com esse , vamos elevar tudo a e depois isolar . Após essa manipulação das equações teremos:
Você deve se lembrar daquela propriedade da exponencial que . Vamos usar ela pra escrever essa nossa constante de uma forma mais bonita:
Chamando a constante de D, temos:
Passo 5
No inicio do problema ele diz que a temperatura inicial é igual a . Com isso temos que . Vamos usar essa informação pra achar a constante .
Como .
Substituindo na nossa equação de .
Passo 6
b) A questão pede pra gente calcular o limite dessa função que achamos na letra a quando . Vamos colocar a mão na massa.
Vamos relembrar que quando Dessa forma:
Passo 7
c) A questão pede pra gente calcular o limite dessa função quando .
Calculamos no item anterior que .
Resposta
a)
b)
c)