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Exercícios Resolvidos de Modelagens com Equação Separável

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Enunciado

Um reservatório contém 1500 litro de água salgada com 10 kg de sal dissolvido. Água salgada com 0.04 kg de sal por litro de água entra no tanque a uma taxa de 5 litros por minuto. Solução é mantida completamente misturada e escoa do tanque a uma taxa de 5 litros por minuto.

  1. Escreva uma equação diferencial que represente a taxa de variação da quantidade de sal no tanque a medida que o tempo passa.
  2. Resolva a equação diferencial e determine a quantidade de sal t minutos após iniciada a experiência.
  3. Quanto sal há no tanque após 2 horas.
  4. Calcule o limite da quantidade de sal no tanque quando t → ∞ .

Passo 1

a)

Esse é aquele problema de tanque. A primeira coisa que precisamos lembrar é

d y d t = S e n t r a - S s a i d a

Onde y é a quantidade de sal no tanque e S é a taxa de variação de sal no tanque, pode ser de saída ou de entrada.

Aqui, vamos ter, na entrada:

S e n t r a = 0,04 k g   d e   S a l l   d e   á g u a × 5 l   d e   á g u a m i n = 0,2   k g / m i n

Na saída:

S s a i d a = y 1500 k g   d e   S a l l   d e   á g u a × 5 l   d e   á g u a m i n = y 300   k g / m i n

Passo 2

A nossa EDO vai ficar

d y d t = 0,2 - y 300

Dando uma arrumadinha

d y d t = 60 - y 300

Aqui falta um detalhe, ele disse quanto de sal tinha no início

y 0 = 10   k g

Passo 3

b)

Vamos resolver nossa EDO

d y d t = 60 - y 300

Vamos começar jogando d y para um lado e d t para o outro

d y 60 - y = d t 300

Integrando

∫ d y 60 - y = ∫ d t 300

ln ⁡ 60 - y - 1 = t 300 + C

Vamos dar uma arrumadinha

ln ⁡ 60 - y = - t 300 + C 1

Troquei o - C que ia aparecer por C 1 , porque afinal constante dá tudo no mesmo rs

Passo 4

Precisamos achar esse C 1 , vamos usar a condição inicial

y 0 = 10   k g

ln ⁡ 60 - 10 = - 0 300 + C 1

C 1 = ln ⁡ 50

Passo 5

Agora nossa solução vai ficar

ln ⁡ 60 - y = - t 300 + ln ⁡ 50

Vamos tentar isolar o y aqui

ln ⁡ 60 - y - ln ⁡ 50 = - t 300

ln ⁡ 60 - y 50 = - t 300

60 - y 50 = e - t / 300

60 - y = 50 e - t / 300

Para tirar o módulo teremos duas situações

60 - y = 50 e - t / 300 ,     o u ,     - 60 - y = 50 e - t / 300  

y = 60 - 50 e - t / 300 ,     o u ,     y = 60 + 50 e - t / 300  

Mas qual dos dois que vai ser o certo? Vamos olhar de novo para a condição inicial

y 0 = 10

Em cada caso vamos ter

y = 60 - 50 e - 0 / 300 ,     o u ,     y = 60 + 50 e - 0 / 300  

y = 60 - 50 ,     o u ,     y = 60 + 50  

y = 10 ,     o u ,     y = 110  

Opa, então só pode ser o primeiro caso

y = 60 - 50 e - t / 300

Passo 6

c)

Aqui ele quer y 2

y 2 = 60 - 50 e - 2 / 300

y 2 = 60 - 50 e - 1 / 150

Passo 7

d)

Vamos fazer o limite de y t quando t → ∞

lim t → ∞ ⁡ 60 - 50 e - t / 300 = 60 - 50.0 = 60

Resposta

a)

d y d t = 60 - y 300

y 0 = 10   k g

b)

y = 60 - 50 e - t / 300

c)

y 2 = 60 - 50 e - 1 / 150

d)

60

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