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Exercícios Resolvidos de Modelagens com Equação Separável

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Enunciado

Teste 11: Considere a EDO

y ' + t 2 + 2 t y = 3 t 2 + 6 t

Analise as seguintes afirmações:

  1. A função y t = 3 + 3 e - t 3 3 + t 2 - 18 é uma possível solução da EDO tal que y 3 = 6 .
  2. Se y : R → R é solução da EDO tal que y 0 > 3 , então y t > 3 para t ∈ R .
  3. Sua solução geral é y t = - 3 + C t 2 e t 3 3 + t 2 .

São verdadeiras:

  1. Apenas I I .
  2. Apenas I .
  3. Todas.
  4. Apenas I e I I .
  5. Apenas I I I .

Passo 1

Aqui, vamos buscar a solução da Edo e ver quais itens estão corretos, ok?

y ' + t 2 + 2 t y = 3 t 2 + 6 t

Podemos resolver essa EDO buscando tanto a solução da homogênea, quanto a solução da particular:

y t = y h + y p

Passo 2

Primeiro vamos resolver a EDO homogênea...

y ' + t 2 + 2 t y = 0

Que tal resolvermos por variáveis separáveis:

y ' y = - t 2 + 2 t →

d y y = - t 2 + 2 t d t →

Integrando...

∫ d y y = ∫ - t 2 + 2 t d t →

ln ⁡ y = - t 3 3 + t 2 + K

y h = e - t 3 3 + t 2 + K = e K e - t 3 3 + t 2

Como e K   é uma constante também desconhecida, podemos nomeai-lo de n o v a m e n t e ...

y h = K e 3 t 2 - t 3 3

Passo 3

Agora, a solução particular tem essa cara:

y p = A t 2 + B t + C   →

Derivando...

y p ' = 2 A t + B

E jogando na EDO...

y ' + t 2 + 2 t y = 3 t 2 + 6 t →

2 A t + B + t 2 + 2 t A t 2 + B t + C = 3 t 2 + 6 t   →

2 A t + B + A t 4 + B t 3 + C t 2 + 2 A t 3 + 2 B t 2 + 2 C t = 3 t 2 + 6 t   →

A t 4 + B + 2 A t 3 + C + 2 B t 2 + 2 C + 2 A t + B = 3 t 2 + 6 t   →

A = 0 B = 0 C = 3  

Logo a solução particular é:

y p = 3

E a solução geral é a soma da homogênea com a particular:

y = K e 3 t 2 - t 3 3 + 3

Veja então que tanto o item 1 quanto o 3 estão errados! Vamos só conferir o item 2 !

Passo 4

Bem, se tivermos y 0 > 3 , então...

y 0 = K e 0 + 3 = K + 3 > 3 →

K > 0

E se o K > 0 , então de fato y t será maior que 0 , já que a exponencial nunca é negativa !

Resposta

a )   A p e n a s   I I

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