Equações Separáveis
Considere uma espécie cuja população no instante satisfaz a equação diferencial seguinte:
- Se a população inicial , a população tenderá a longo prazo um valor de equilíbrio? Em caso positivo, qual?
- Se a população inicial , a população tenderá a longo prazo um valor de equilíbrio? Em caso positivo, qual?
Passo 1
Antes de mais nada percebe que as letras estão analisando a função ? Temos que resolver a EDO antes de qualquer coisa e depois vamos para as letras, essa EDO é separável.
Agora temos que isolar os termos com para o lado que tem e os termos com do outro
Passo 2
Agora, temos que integral os dois lados
A integral de t é tranquilinha de resolver.
Vamos agora integrar a de que é um pouco mais complicadinha
Repara que podemos fator o denominador e deixar assim
Vamos usar frações parciais em
Vamos ter
Resolvendo esse sistema vamos encontrar
A integral vai ficar
Passo 3
Voltando para as integrais vamos ter
Juntando as duas constantes vamos ter
Aplicando as propriedades de log
Vamos tirar esse módulo,
Podemos fazer
Multiplicando cruzado
Passo 4
Vamos achar o valor de quando
A equação vai ficar
Passo 5
Vamos calcular o limite dessa função quando
Como essa função é continua em qualquer valor de , isso significa que a longo prazo a população vai acabar.
Passo 6
Vamos achar o valor de quando
A equação vai ficar
Passo 7
Vamos calcular o limite dessa função quando
Você ficaria tentado agora a falar que no infinito essa parada vai para , ou seja ela tem um ponto de equilíbrio, mas repara que diferente da outra vez, agora temos um denominador que pode dar , e quando ele der essa função toda vai para , ou seja essa função não é contínua.
Vamos achar o momento que essa função vai para , ou seja quando o denominador vai ser
Isso significa que a longo prazo a população vai explodir quando o tempo for .
Resposta
- Sim, para
- Não, a população vai “explodir” quando