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Exercícios Resolvidos de Propriedades dos Determinantes

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Enunciado

As afirmativas abaixo tratam da matriz quadrada A e da identidade I . Qual das afirmativas é verdadeira?

a   Se a matriz A é inversível, então det ⁡ A = 0

b   Se det ⁡ A ≠ 0 , então d i m ⁡ ( N u c A ) = 0

c   Se I é a matriz identidade de ordem 3 , então det ⁡ 3 I = 3

d   Se A é 3 × 3 , então det ⁡ 2 A = 2 det ⁡ A

Passo 1

a   Pra resolver essa, é só lembrar do bizu!

Logo, se A é inversível, implica que o d e t ⁡ ( A ) ≠ 0 . E portanto a afirmativa é falsa.

Passo 2

b   Se dim ⁡ N u c A = 0 , então N u c A = 0 .

É só pensar no contário de novo. Se o N u c A = { 0 } , implica que o d e t ⁡ ( A ) ≠ 0 . Então a afirmativa é verdadeira.

Passo 3

c   Bom, se I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 , então 3 I = 3 0 0 0 3 0 0 0 3 .

Repare que 3 I é uma matriz diagonal, e em especial uma matriz triangular, então é só multiplicar os elementos da diagonal principal:

3 0 0 0 3 0 0 0 3 = 3 × 3 × 3 = 27

Então det ⁡ 3 I = 27 . Falsa.

Passo 4

Bom, na ( d ) ele fala que A é 3 × 3 . Ou seja, A é desse tipo:

A = a b c d e f g h i

Vamos ver o que acontece com 2 A :

2 A = 2 a 2 b 2 c 2 d 2 e 2 f 2 g 2 h 2 i

O que eu posso dizer sobre o determinante?

O que a gente sabe é que se eu multiplico uma linha ou uma coluna por um escalar, o determinante é multiplicado uma vez por esse escalar.

Agora se eu multiplico três linhas por 2 , o determinante vai ser multiplicado três vezes por 2 .

Então, nesse caso:

det ⁡ 2 A = 2 × 2 × 2 det ⁡ A = 8 det ⁡ A

A ( d ) é falsa então.

Resposta

Letra ( b )

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