UFRJ, Álgebra Linear, P3 – 2017.1, Questão 05
Seja uma matriz quadrada e considere o sistema linear . Classifique em Verdadeira ou Falsa as afirmativas abaixo:
Se o sistema tem solução, então é diferente de 0.
Se o sistema não tem solução, então é igual a 0.
(a) é verdadeira e é falsa
(b) é falsa e é verdadeira
(c) Ambas são verdadeiras
(d)Ambas são falsas
Passo 1
Afirmativa
Isso não necessáriamente é verdade.
Para o sistema ter solução é preciso que seja combinação das colunas de .
Quando o é diferente de zero, sabemos que as linhas não são combinações umas das outras, como a matriz é quadrada, isso indica que vou ter o número de equações não redundantes (não das outras) igual ao número de variáveis, nos dando uma solução única..
Nesse caso vamos ter uma base do nosso espaço nas linhas e portanto nas colunas, já que o número de linhas é igual ao de colunas e vamos conseguir escrever qualquer vetor como deles, assim o sistema sempre vai ter solução!
Passo 2
Vamos ver um exemplo para ficar mais claro:
Imagina a matriz e o vetor
Vamos calcular o determinante de
Assim, sei que as linhas formam um conjunto Como o número de linhas e colunas é sempre o mesmo e a matriz é quadrada, sei também que as colunas formam um conjunto
Olha o que temos aqui, um conjunto de 3 vetores do Ou seja, uma base do Com uma base do conseguimos escrever qualquer vetor do de apenas uma forma:
Vemos que conseguimos achar uma solução única: e
Passo 3
Agora vamos ver o caso do
Agora minha matriz vai ser :
O determinante ser zero indica que temos linha(s) combinação(ões) linear(es) das outras, assim esse conjunto:
É e portanto não é uma base do ! Assim, não posso afirmar que vou conseguir escrever qualquer vetor como combinação deles.
Sabemos também que quando temos o número de variáveis maior que o de equações não redundantes, a solução, quando existe, não vai ser única.
Passo 4
Mas voltanto para a questão:
Se o sistema tem solução, então é diferente de 0.
É falsa, é possível que o determinante seja zero e o sistema tenha infinitas soluções!
Agora a segunda afirmativa
Se o sistema não tem solução, então é igual a 0.
Provamos já que quando o sistema tem determinante diferente de zero ele necessariamente vai ter solução, já que as colunas formam base do espaço. Assim, quando não tem solução o determinante vai ser 0, é verdadeira!
Resposta
b