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Exercícios Resolvidos de Propriedades dos Determinantes

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Enunciado

Prova Algebra Linear I – p1 – usp – sem campus – 2016 – questão 2

Seja n   um inteiro positivo e sejam A e B matrizes reais n × n . Considere as seguintes afirmações:

  1. Se a transposta da matriz A é igual a -A, então det ⁡ A = - 1 ;
  2. det ⁡ A + B = det ⁡ A + det ⁡ B ;
  3. det ⁡ A B = det ⁡ B A

Assinale a alternativa correta

  1. Todas as afirmações são necessariamente verdadeiras;
  2. Apenas a afirmação III é necessariamente verdadeira;
  3. Apenas a afirmação I é necessariamente verdadeira;
  4. Apenas as afirmações I e III são necessariamente verdadeiras;
  5. Apenas as afirmações I e II são necessariamente verdadeiras.

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquilebas? Espero que sim! Bora lá, Responder Aí essa questão.

Como a matriz não é dada, somente sabemos que ela é quadrada. O que podemos fazer então? Podemos criar a nossa matriz e comprovar se o dito é verdadeiro ou falso. Muito mais fácil não?!

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Assim:

Para a informação I:

Criemos então:

A = 0 2 - 2 0

Então, vamos ver se A t = - A e det ⁡ A = - 1

A t = 0 - 2 2 0 = - A

A primeira parte é verdadeira, agora temos que ver se essa comprovação sustenta det ⁡ A =   - 1

det ⁡ 0 2 - 2 0 = 4 ≠ - 1

De modo que a informação I é falsa.

Para a informação II:

De modo similar ao do item a, criemos duas matrizes para o teste. Sejam elas:

A = 1 0 0 1 ,     B = - 1 0 0 - 1

Assim temos que confirmar se det ⁡ A + B = det ⁡ A + det ⁡ B , assim:

det ⁡ A + B = det ⁡ 0 0 0 0 = 0

E:

det ⁡ A = det ⁡ 1 0 0 1 = 1

det ⁡ B = det ⁡ - 1 0 0 - 1 = 1

Assim:

det ⁡ A + B ≠ det ⁡ A + det ⁡ B → 0 ≠ 2

Logo a afirmação II é falsa.

Para a informação III:

Usando as mesmas matrizes da explicação anterior, vemos que:

det ⁡ A B = det ⁡ A ∙ det ⁡ B = det ⁡ B A

Pois se det ⁡ A e det ⁡ B ∈ R vale a comutatividade.

Logo a informação III é verdadeira.

Passo 3

Vemos que somente a informação 3 é verdadeira.

Sendo assim a resposta é a letra B

Resposta

Letra b.

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