Exercícios Resolvidos de Propriedades dos Determinantes

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Enunciado

Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmativa for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.

c) Se , então é invertível seja qual for .

d) Se , então tem nutilidade 2 seja qual for

Passo 1

Uma boa forma de checar se a matriz é invertível é calculando o determinante, caso seja nulo, não terá inversa. Caso não seja nulo terá.

Vamos pôr a mão na massa então:

Repare que para nenhum esse determinante será nulo, por e são positivos.

Logo a matriz é invertível para todo .

Passo 2

Repara que essa matriz é a matriz com mais duas colunas. Só que acabamos de ver que o determinante de é sempre diferente de zero, ou seja, suas colunas são LI.

Então independente de essa matriz terá o todo como imagem. As colunas adicionadas serão LD. Pelo teorema núcleo-imagem:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Propriedade: O determinante de uma matriz triangular A n × n e igual ao produto de sua diagonal.Prove esta propriedade no caso em que A é uma matriz triangular superior (genérica) = 5 × 5 . (Sugestão:

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Dado um sistema 3X3 com determinante ≠ 0 , calcule o número de multiplicações e divisões necessários para resolvê-lo .c-Pelo método da eliminação gaussiana

Usando a transposta mT, mostre que, se detm ≠ 0 então existe uma matriz p tal que pm=I3

Seja M: R 2 → R 2 a transformação linear definida por M ( x , y ) =( a 1 x + b 1 y ,a 2 x + b 2 y ) . Se a matrizes m = a 1 b 1 a 2 b 2 é não-nula e d e tm = 0 , a imagem de M é uma reta passando pela