Seja A uma matriz quadrada e considere o sistema Ax=b.

I – Se ele tem solução, então det ⁡ A ≠ 0

II – Se ele não tem solução, então det ⁡ A = 0 .

(a) I é falsa e II é verdadeira.

(b) I é verdadeira e II é falsa.

(c) Ambas são falsas.

(d) Ambas são verdadeiras.

Passo 1

Começando pela afirmativa I !

Como A é quadrada, o número de linhas é igual ao de colunas.

Existem dois casos em que o sistema tem solução.

Um deles é quando a solução é única. Então, as linhas de A vão ser LI (pois a matriz é quadrada) e det ⁡ A ≠ 0 .

Não esquece que o sistema também pode ter infinitas soluções! Aí, as linhas de A vão ser LD e det ⁡ A = 0 .

Então a afirmação I é falsa. Se o sistema tem solução única, então det ⁡ A ≠ 0 .

Pode acontecer de o sistema ter infinitas soluções e, mesmo assim, termos que det ⁡ A = 0 .

Passo 2

Agora a afirmativa I I .

Essa afirmação é verdadeira. No caso em que um sistema linear Ax=b não tem solução, temos necessariamente que det ⁡ A = 0 , pois então as linhas são LD!

Resposta

(a) I é falsa e II é verdadeira.

Exercícios Resolvidos de Propriedades dos Determinantes

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