Exercícios Resolvidos de Propriedades dos Determinantes

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Enunciado

Seja A uma matriz quadrada e considere o sistema Ax=b.

I – Se ele tem solução, então

II – Se ele não tem solução, então

(a) I é falsa e II é verdadeira.

(b) I é verdadeira e II é falsa.

(c) Ambas são falsas.

(d) Ambas são verdadeiras.

Passo 1

Começando pela afirmativa !

Como A é quadrada, o número de linhas é igual ao de colunas.

Existem dois casos em que o sistema tem solução.

Um deles é quando a solução é única. Então, as linhas de A vão ser LI (pois a matriz é quadrada) e .

Não esquece que o sistema também pode ter infinitas soluções! Aí, as linhas de A vão ser LD e .

Então a afirmação I é falsa. Se o sistema tem solução única, então .

Pode acontecer de o sistema ter infinitas soluções e, mesmo assim, termos que

Passo 2

Agora a afirmativa .

Essa afirmação é verdadeira. No caso em que um sistema linear Ax=b não tem solução, temos necessariamente que pois então as linhas são LD!

Resposta

(a) I é falsa e II é verdadeira.

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