USP – Álgebra Linear – P1 2021 – Questão 3
Sejam um inteiro maior ou igual a e uma matriz real . Considere as seguintes afirmações:
1. Se o determinante de é nulo, então existe uma linha de que é igual ao produto de alguma outra linha de por um número real
2. Se existe uma matriz real não nula tal que , então tem o determinante nulo
3. Se existe uma matriz real não nula tal que o produto não é inversível, então tem determinante nulo
a) Apenas 1 e 2 são verdadeiras
b) Apenas 1 e 3 são verdadeiras
c) Apenas 1 é verdadeira
d) Apenas 2 e 3 são verdadeiras
e) Apenas 2 é verdadeira
f) 1, 2 e 3 são verdadeiras
g) 1, 2 e 3 são falsas
h) Apenas 3 é verdadeira
Passo 1
Oii pessoal, vamos lá pra mais uma?
Nesse exercício, temos 3 afirmações que envolvem determinantes, e aí queremos saber qual/quais dessas afirmações são verdadeiras
Bom, não tem muito jeito, vamos ter que ver uma por uma hahaha mas vamos lá que vai ser bem mais simples do que parece 😊
Passo 2
Vamos começar pela primeira afirmação, que diz que “Se o determinante de é nulo, então existe uma linha de que é igual ao produto de alguma outra linha de por um número real”
O que ele ta falando é que se a gente tiver alguma matriz qualquer que o determinante vale , com certeza alguma linha dela é múltipla de outra
Bemm, nem sempre isso vai acontecer, por exemplo, olha essa matriz:
O determinante dela vale , mas não tem nenhuma linha que é múltipla de outra. O que acontece nesse caso é que a gente pode escrever uma linha como combinação linear DAS OUTRAS DUAS.
Então a afirmação 1 é falsa 😉
Passo 3
A afirmação 2 fala que “Se existe uma matriz real não nula tal que , então tem o determinante nulo”
Vamos pensar galera, a matriz tem linhas e coluna:
E sabemos que
Então
Então é uma solução desse sistema:
Que tem como solução trivial
Bom, mas se é uma solução além da solução trivial, então esse sistema tem mais de uma solução D:
Se ele tem mais de uma solução, ele é um sistema possível indeterminado! Ta acompanhando?
Em um sistema indeterminado, com certeza o determinante é nulo. Portanto forma um sistema indeterminado e por isso tem determinante nulo mesmo 😉
A afirmação 2 é verdadeira!
Passo 4
Por fim, a afirmação 3 fala que “Se existe uma matriz real não nula tal que o produto não é inversível, então tem determinante nulo”
Primeiro vamos lembrar que dizer que o determinante é nulo, significa dizer que o determinante vale 0. Então, escrevendo em outras palavras, essa afirmação ta falando que se , para não nula, então
Mas galera, isso é falso! E vamos provar com um contraexemplo
Vamos imaginar que é essa matriz:
E como a matriz identidade:
Multiplicando as duas matrizes:
Masss, a matriz é a matriz identidade, onde o determinante vale
Logo, realmente a afirmação é falsa
Então, apenas a afirmação 2 é verdadeira, e a alternativa correta é a letra E
Resposta
e) Apenas 2 é verdadeira