UFRJ, P3-2019.1
Considere as afirmativas abaixo:
- Se é invertível então
- Se e são matrizes quadradas e é invertível, então .
- Ambas são verdadeiras
- Ambas são falsas
- I é falsa II é verdadeira
- I é verdadeira e II é falsa
Passo 1
Show de bolinhas pessoal, vamos verificar cada uma dessas alternativas pra ver se elas são isso tudo mesmo. Saca só, na primeira ele diz que se é invertível, então:
Irado, mas a gente sabe que:
Onde é a matriz identidade. MAAASS a gente também sabe que:
Logo
E aplicando a propriedade do produto de matrizes dentro do determinante, temos que:
Então passando o dividindo para o outro lado:
Portanto a relação realmente existe, a não ser que . Mas quando o enunciado diz que a matriz é invertível, ele garante que , já que para inverter uma matriz o determinante não pode ser nulo.
Passo 2
Belezoca, agora na afirmativa II, ele diz que se e são matrizes quadradas e é invertível, então .
Show de bolinhas, vimos no Passo 1, que se uma matriz é invertível, seu determinante é diferente de , logo:
Tudo jóinha, então aplicando a propriedade do produto de matrizes dentro do determinante, temos que:
Então, se por acaso , teríamos:
O que é IMPOSSÍVEL já que o enunciado garantiu que esse determinante era diferente de . Portanto, .
Resposta certa, letra (a) ambas verdadeiras.
Resposta
Letra (a).