Considere a matriz A = 1 0 1 1 2 1 - 1 - 1 1 - 1 1 1 - 1 1 - 1 2 a Calcule o determinante da matriz A . b Essa matriz é inversível? Se sim, calcule A - 1 , se não, justifique. Passo 1 a Sabemos que a operação elementar L i ← L i + k L j não altera o determinante. Logo, podemos fazer: 1 0 1 1 2 1 - 1 - 1 1 - 1 1 1 - 1 1 - 1 2 → L 4 ← L 4 + L 3 1 0 1 1 2 1 - 1 - 1 1 - 1 1 1 0 0 0 3 → L 2 ← L 2 + L 3 1 0 1 1 3 0 0 0 1 - 1 1 1 0 0 0 3 → L 1 ← L 1 - L 3 0 1 0 0 3 0 0 0 1 - 1 1 1 0 0 0 3 Onde o determinante dessa última matriz é igual ao dá primeira. Aplicando Laplace na primeira linha: 0 1 0 0 3 0 0 0 1 - 1 1 1 0 0 0 3 = 1 ∙ - 1 2 + 1 ∙ 3 0 0 1 1 1 0 0 3 = - 9 Passo 2 b Como det A = - 9 ≠ 0 , A é inversível. Invertendo: 1 0 1 1 2 1 - 1 - 1 1 - 1 1 1 - 1 1 - 1 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 → L 2 ← L 2 - 2 L 1 L 3 ← L 3 - L 1 L 4 ← L 4 + L 1 1 0 1 1 0 1 - 3 - 3 0 - 1 0 0 0 1 0 3 1 0 0 0 - 2 1 0 0 - 1 0 1 0 1 0 0 1 → L 3 ← L 3 + L 2 L 4 ← L 4 - L 2 1 0 1 1 0 1 - 3 - 3 0 0 - 3 - 3 0 0 3 6 1 0 0 0 - 2 1 0 0 - 3 1 1 0 3 - 1 0 1 → L 3 ← - L 3 3 1 0 1 1 0 1 - 3 - 3 0 0 1 1 0 0 3 6 1 0 0 0 - 2 1 0 0 1 - 1 3 - 1 3 0 3 - 1 0 1 → L 4 ← L 4 - 3 L 3 1 0 1 1 0 1 - 3 - 3 0 0 1 1 0 0 0 3 1 0 0 0 - 2 1 0 0 1 - 1 3 - 1 3 0 0 0 1 1 → L 4 ← L 4 3 1 0 1 1 0 1 - 3 - 3 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 - 2 1 0 0 1 - 1 3 - 1 3 0 0 0 1 3 1 3 → L 1 ← L 1 - L 4 L 2 ← L 2 + 3 L 4 L 3 ← L 3 - L 4 1 0 1 0 0 1 - 3 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 - 1 3 - 1 3 - 2 1 1 1 1 - 1 3 - 2 3 - 1 3 0 0 1 3 1 3 → L 1 ← L 1 - L 3 L 2 ← L 2 + 3 L 3 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 3 1 3 0 1 0 - 1 0 1 - 1 3 - 2 3 - 1 3 0 0 1 3 1 3 UFA!! Finalmente achamos nossa inversa!!! A - 1 = 0 1 3 1 3 0 1 0 - 1 0 1 - 1 3 - 2 3 - 1 3 0 0 1 3 1 3 Resposta a det A = - 9 b Sim. A - 1 = 0 1 3 1 3 0 1 0 - 1 0 1 - 1 3 - 2 3 - 1 3 0 0 1 3 1 3 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios Resolvidos de Propriedades dos DeterminantesVer TeoriaExercício 121234567891011131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445Carregar mais exercícios (45) Exercícios de Livros RelacionadosPropriedade: O determinante de uma matriz triangular A n × n e igual ao produto de sua diagonal.Prove esta propriedade no caso em que A é uma matriz triangular superior (genérica) = 5 × 5 . (Sugestão:Dado um sistema 3X3 com determinante ≠ 0 , calcule o número de multiplicações e divisões necessários para resolvê-lo .a-Pela Regra de Cramer, calculando os determinantes a partir da definição;Dado um sistema 3X3 com determinante ≠ 0 , calcule o número de multiplicações e divisões necessários para resolvê-lo .c-Pelo método da eliminação gaussianaUsando a transposta mT, mostre que, se detm ≠ 0 então existe uma matriz p tal que pm=I3Seja M: R 2 → R 2 a transformação linear definida por M ( x , y ) =( a 1 x + b 1 y ,a 2 x + b 2 y ) . Se a matrizes m = a 1 b 1 a 2 b 2 é não-nula e d e tm = 0 , a imagem de M é uma reta passando pelaVer TambémVer tudo sobre Álgebra Linear e Geometria AnalíticaVer tudo sobre DeterminantesLista de exercícios de Propriedades dos Determinantes