Exercícios Resolvidos de Propriedades dos Determinantes

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Enunciado

Diga se as alternativas abaixo são verdadeiras ou falsas:

Se e então

Se e então

Ambas são verdadeiras

I é verdadeira e II é falsa

I é falsa e II é verdadeira

Ambas são falsas

Passo 1

Vamos analisar as afirmativas.

Na afirmativa , sabemos que ele quer o determinante da matriz . Bom, sabemos que o determinante da transposta de uma matriz é igual ao determinante dela, então:

Agora é só lembrar que o determinante do produto de duas matrizes é o produto dos determinantes de cada uma!

Mas não se esqueça do nosso escalar real! Lembra da propriedade que cada vez que uma linha é multiplicada por um escalar real, multiplicamos o determinante?? Então, quando multiplicamos a matriz pelo escalar estamos multiplicando todas as linhas por ele, logo como a matriz é estamos multiplicando o determinante por ! Logo:

Assim podemos ver que a afirmativa é falsa.

Passo 2

Na afirmativa II, novamente podemos usar o fato de que o determinante da transposta é igual ao determinante da matriz:

Como o determinante do produto é igual ao produto dos determinantes:

Por fim, sabemos que o determinante da inversa é o inverso do determinante:

Logo a afirmativa é verdadeira

Resposta

Letra

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