UFRJ, P3-2019.1
Considere as matrizes , e , onde , é a i-ésima coluna de , e ambas com determinantes positivos:
- é negativo
- é negativo
- I é verdadeira e II é falsa
- Ambas são falsas
- Ambas são verdadeiras
- I é falsa e II é verdadeira
Passo 1
Show de bolinhas galerinha, sabemos que se a gente tem por exemplo a matriz , tal que:
Se por acaso a gente permutar uma linha, ou uma coluna, sempre SEMPRE SEMPRE trocamos o sinal do determinante. Então seja a matriz que permutou uma vez, temos que:
Se a gente permutar mais uma vez, vamos ter que:
Passo 2
Iradoso, agora que a gente lembrou disso, podemos olhar nossas afirmativas. Na (I), ele diz que , mas a gente sabe apenas que o determinante de é positivo, tal que:
Só que, possui exatamente as colunas da primeira matriz. A não ser que a primeira e terceira coluna estão trocadas:
E como realizamos apenas troca, trocamos o sinal do determinante apenas uma vez, tal que:
Portanto, de fato é negativo. Afirmativa verdadeira!
Passo 3
Já na afirmativa (II) temos a matriz . E sabemos apenas que
Só que agora, vamos precisar fazer permutações, saca só:
Portanto, o sinal do determinante vai trocar vezes, tal que:
E como esse determinante é positivo, temos que nossa afirmativa II é falsa. Resposta certa, letra (a).
Resposta
Letra (a).