Sejam A e B matrizes quadradas Considere as afirmações abaixo:
(I) Se A e B são invertíveis, então AB é invertível.
(II) Se AB é invertível, então A e B são invertíveis.
(a) (I) é falsa e (II) é falsa.
(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.
(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.
(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
Passo 1
(I) Se A e B são invertíveis, então:
Como A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, podemos usar que:
E então sabemos que:
Logo, AB também é invertível.
Passo 2
(II) Agora vamos fazer o caminho contrário.
Se AB é invertível, sabemos que:
Mas A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, então:
Como esse produto não é zero:
Logo, tanto A quanto B são invertíveis.
Resposta
(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
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