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Exercícios Resolvidos de Propriedades dos Determinantes

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Enunciado

A1 T6 A4 T4 A5 T1

Qual dos argumentos abaixo é aceitável?

( a ) Se λ é autovalor de A , então λ - 1 é autovalor de A - 1 , pois A v = λ v ⟺ A v - 1 = λ v - 1 ⟺ A - 1 v - 1 = λ - 1 v - 1

( b ) det ⁡ A - 1 = 1 det ⁡ A , pois det ⁡ A - 1 = det ⁡ 1 A = 1 det ⁡ A

( c ) Suponha que λ ≠ 0 é autovalor de A e v → ≠ 0 → é um autovetor associado. Então, como A v → = λ v → , podemos concluir que A = λ

( d ) Se X 1 e X 2 são soluções de A X = B , então X s = X 1 + X 2 é solução de A X = 2 B , pois A X s = A X 1 + X 2 = A X 1 + A X 2 .

Passo 1

Ta, vamos letra por letra ver qual é aceitável e qual não é. A maioria das erradas na verdade é bem absurda haha. Se liga:

a Ta, começou bem, de fato, se λ é autovalor de A , então λ - 1 é autovalor de A - 1 . Mas aí o cara caga tudo e fala que A v = λ v ⟺ A v - 1 = λ v - 1 ⟺ A - 1 v - 1 = λ - 1 v - 1 . Consegue reparar em onde está o erro?

Repare que ele tirou a inversa de λ v e escreveu v - 1 várias vezes! Mas sabemos que apenas matrizes quadradas admitem inversa e que λ v e v são vetores coluna! Logo, ele não poderia fazer isso.

b De novo começou bem, sabemos que det ⁡ A - 1 = 1 det ⁡ A mas não é pelo motivo que ele deu! A primeira coisa que vimos quando aprendemos a inverter matrizes é que A - 1 ≠ 1 A ! Essa é falsa.

c Po, nessa ele ta falando que uma matriz é igual à um escalar! Não né gente, claro que não haha.

d Opa, essa é aceitável sim! Uma das propriedades do produto de matrizes é que:

A B + C = A B + A C

Como X 1 e X 2 são também matrizes (com apenas uma coluna) a justificativa dada está correta.

Resposta

Letra ( d )

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