Exercícios Resolvidos de Propriedades dos Determinantes

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Enunciado

A4 T4 T3

Considere as afirmativas:

Seja uma matriz com ímpar. Se , então

Sejam e matrizes . Se não é injetiva então

A afirmativa é verdadeira e a afirmativa é verdadeira

A afirmativa é falsa e a afirmativa é verdadeira

A afirmativa é verdadeira e a afirmativa é falsa

A afirmativa é falsa e a afirmativa é falsa

Passo 1

Afirmativa :

Ta, essa é meio chatinha. Lembra o que acontece com o determinante se multiplicamos a linha de uma matriz por um escalar? O determinante também é multiplicado pelo escalar!

E o que acontece se multiplicarmos todas as linhas de uma matriz pelo mesmo escalar? Bom, o determinante dela será multiplicado por esse escalar vezes certo? Então temos que se é :

E como sabemos que é ímpar:

Beleza, agora a segunda coisa que você tinha que lembrar é o seguinte:

Agora vamos ver o que a afirmação fala:

Bom, se elas são iguais seus determinantes obviamente também são:

Usando que :

Usando que :

Então essa afirmativa é verdadeira!

Passo 2

Afirmativa :

Sabemos que o determinante do produto é o produto dos determinantes:

Além disso, sabemos que não é injetiva, isso implica diretamente no determinante de ser igual a como vimos no nosso bizu. Logo:

Essa também é verdadeira.

Resposta

Letra

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