UFPE, Álgebra Linear, 1 a EE – 2017.2, Questão 2ab
Identifique se cada afirmação é verdadeira ou falsa. Justifique.
- Se uma matriz quadrada tem então a nulidade de
- Seja . Se , então não é inversível.
Passo 1
a)
Quando o determinante de uma matriz não é igual a zero, nosso caso: o conjunto das linhas é assim como conjunto das colunas.
Opa, falou do conjuntos das colunas?? Tamo falando da base da imagem então! Sabemos que ela é composta por 3 vetores, então a dimensão da imagem vai ser igual a 3.
Pelo teorema núcleo imagem, conseguimos achar a nulidade, ou dimensão do núcleo:
Sendo o número de colunas, temos:
Assim, a afirmativa é falsa
Passo 2
b)
Para ser inversível é preciso que o determinante seja diferente de zero. Vamos tentar calcular isso aí:
Como a matriz tem muitos zeros, vamos usar o Teorema de Laplace. Como todas as linhas e colunas tem a mesma quantidade de zeros, posso escolher a que eu quiser! Vou usar a primeira coluna:
Como vamos ficar com Assim, o determinante dessa matriz é 0 e ela não é inversível.
Resposta
a)Falsa
b)Verdadeira