Exercícios Resolvidos de Propriedades dos Determinantes

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Enunciado

UNB – Sem campus - Introdução a Álgebra Linear – Listas – Listas de IAL UnB – Lista 2 – 4b

Use a definição de determinante para calcular

Passo 1

Fala galerinha do bem, beleza? Bora lá pra essa questão. Pra o determinante dessa matriz gigante, poderíamos usar o método de LaPlace por ex, mas vai dar muito trabalho. Então pra ganhar tempo e qualidade de vida, a gente pode usar uma propriedade bem bacana da definição de determinantes.

Você sabe qual propriedade podemos usar? Veja só:

Aqui, poderíamos calcular o determinante se esses elementos estivessem todos na diagonal principal através de um artifício, mas eles infelizmente estão na secundária. Porém, a gente pode fazer uma artimanha através da propriedade de PERMUTAÇÃO. Nela, a gente pode trocar de lugar linhas ou colunas simétricas. E pra cada permutação dessa, o nosso determinante é modificado da seguinte forma:

Sendo o numero de permutações.

Passo 2

Belezura, então bora começar a permutar? Hahaha simbora! Qual a forma mais otimizada da gente permutar os elementos pra que a nossa matriz fique do jeitinho que a gente quer (elementos não nulos somente na diagonal principal)? Vamos fazer uma permutação da coluna com a com a coluna 2. Dessa forma a nossa matriz:

Vai passar a ser:

Shooow! Fizemos 1 permutação aqui.

Passo 3

Belezura, agora vamos pra parte do determinante. O determinante da seguinte matriz:

Pode ser calculado através de um artifício dentro das propriedades de determinante. Temos aqui uma matriz triangular. Definimos matriz triangular com uma matriz quadrática que só tenha elementos não nulos na diagonal principal. Dessa forma, o determinante de uma matriz triangular é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Logo, calculando:

Mas calma aí, lembra que pela propriedade da permutação a gente tem que modificar ainda o determinante? Temos então:

Como fizemos 1 permutação:

Logo, nosso determinante inverte o sinal:

E é isso gente boa! Se ficou alguma dúvida, quer dar alguma sugestão ou reportar algum erro, manda um feedback pra gente! Vamos adorar ajudar você

Resposta

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