Considere uma polia de massa m p com raio R que tem momento de inércia igual a 1 2 m p R 2 . A polia é livre para rodar em torno de um eixo central sem atrito. Uma corda sem massa é amarrada por uma extremidade na polia e na outra extremidade é atada a um bloco de massa m , que está em repouso sobre um plano inclinado de ângulo β com respeito a horizontal. A magnitude da aceleração da gravidade é g . Então, permite-se que o bloco deslize. Quanto tempo leva para o bloco andar de uma distância d no plano inclinado? Escreva sua resposta usando as variáveis do exercício.

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo bem com vocês?

Nessa questão temos um bloquinho em um plano inclinado, que está preso a uma corda que por sua vez passa por uma polia. A massa do bloquinho, o momento de inércia da polia, e o raio da polia foram dados.

O objetivo do enunciado é que determinemos o tempo que o bloco leva pra descer uma distância d no plano inclinado. Sacaram?

Bom, como o nosso probleminha envolve tempo, com certeza vamos precisar usar uma daquelas equações horárias de cinemática. Já que a aceleração do bloco deve ser constante, uma boa ideia é usar a “sorvetão”, lembram?

S = S 0 + v 0 t + a t 2 2

Massa! Mas, a maior dificuldade desse problema é justamente como encontrar a aceleração do bloquinho.

Sempre que tivermos um probleminha envolvendo rodas, discos, polias, e tudo aquilo que gira haha, é uma boa darmos uma pensada na equação abaixo:

τ = I ⋅ α

onde τ é o torque resultante sobre o objeto que gira, I o seu momento de inércia e α sua aceleração angular.

Vamos buscar usar essa expressão pra matar o nosso problema 😊

Passo 2

Bom, temos a seguinte situação descrita no enunciado:

Como vimos no passo anterior, a nossa ideia inicial é usar a equação:

τ = I ⋅ α

Então, pra começar precisamos determinar o torque resultante sobre a polia.

O torque atuante na polia vem justamente da força com que o fio está tracionado fazendo a polia girar. Ou seja:

T ⋅ R = I ⋅ α

Porém do equilíbrio de forças no bloquinho de massa m , temos que:

P x - T = m ⋅ a  

P x é a componente da força peso na direção do plano inclinado, ou seja:

P x = P ⋅ s e n β

Logo:

m g s e n β - T = m ⋅ a

Porém, pelo vínculo geométrico da figura, como o fio é inextensível, o bloquinho, o fio e a polia precisam ter a mesma aceleração linear. Assim, podemos escrever que:

a p o l i a = α ⋅ R = a

Perfeito!

Reescrevendo nossas equações, vamos ter:

T ⋅ R = I ⋅ a R m g s e n β - T = m ⋅ a

Então:

T = I ⋅ a R 2

Logo:

m g s e n β - I ⋅ a R 2 = m ⋅ a

∴ m g s e n β = a ⋅ m + I R 2

Como foi dado no enunciado, o momento de inércia da polia, vale:

I = 1 2 m p R 2

Substituindo, ficamos com:

m g s e n β = a ⋅ m + 1 2 m p R 2 R 2

∴ m g s e n β = a ⋅ m + m p 2

Logo:

a = 2 m g s e n β 2 m + m p

Perfeito galera! Encontramos a aceleração com a qual o bloquinho desce o plano inclinado.

Agora é só partir pras equações horárias.

Passo 3

Já encontramos que:

a = 2 m g s e n β 2 m + m p

Assim, podemos usar a equação do “sorvetão”, que comentamos no passo 1 , pra matar esse problema.

S = S 0 + v 0 t + a t 2 2

Como S - S 0 = d , e o bloco parte do repouso, vem:

d = a t 2 2

∴ t = 2 d a

Substituindo a aceleração que encontramos, vamos ter:

t = d 2 m + m p m g s e n β

Aeeeee! É isso aí pessoal!

Vocês curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

d 2 m + m p m g s e n β

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