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Exercícios Resolvidos de Segunda Lei de Newton

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Enunciado

UFJF. Física 1. Prova AV2. 2015.2. Questão 2.

2 – Duas partículas partem da origem, a primeira de massa 3 k g com velocidade caracterizada por v → 1 = 10 i + 10 t j m / s e a segunda, de massa 1 k g e com velocidade v → 2 = 15 i - 45 t j m / s .

As velocidades são relativas ao mesmo observador na origem. Determine:

a) Como o vetor centro de massa do sistema varia com o tempo?

b) em que ponto do espaço estará o centro de massa em t = 2 s ?

c) Neste instante, t = 2 s , qual é o vetor velocidade instantânea do centro de massa do sistema?

d) Qual o vetor força externa que atua sobre este sistema de partículas?

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão temos duas partículas que estão em movimento, a partícula 1 tem massa 3 k g e se move com velocidade descrita por v → 1 = 10 i + 10 t j m / s . A partícula 2 tem massa 1 k g e velocidade descrita por v → 2 = 15 i - 45 t j m / s .

Nosso objetivo é descrever como o vetor centro de massa varia com o tempo, dizer em que ponto está o centro de massa no instante t = 2 s e qual é a velocidade do centro de massa nesse instante e também temos que descobrir qual é o vetor força externa que age sobre o sistema.

Como podemos fazer isso? Tem alguma ideia?

Vamos começar organizando os vetores velocidades que nos deram

v → 1 = 10 i + 10 0 t j m / s v → 2 = 15 i - 675 t j m / s

Lembra que integrando um vetor velocidade vamos encontrar um vetor posição? E se derivarmos um vetor velocidade, vamos encontrar um vetor aceleração?

Vamos usar essas informações a nosso favor!

Bora lá! 😁

Passo 2

No item a) queremos saber como o vetor centro de massa varia com o tempo.

Vamos chamar esse vetor de vetor posição P → c m

Lembra que o centro de massa de um sistema é dado por

P → c m = P → 1 m 1 + P → 2 m 2 m 1 + m 2

Onde P → 1 e P → 2 são os vetores posições das partículas 1 e 2 .

Como falamos no passo anterior, integrando o vetor velocidade, vamos encontrar o vetor posição!

P → 1 = ∫ v → 1 d t = ∫ 10 i + 10 0 t j d t

P → 1 = ∫ 10 d t i + ∫ 10 0 t d t j

O termo em i é constante e sabemos que a integral de uma constante é a própria constante multiplicada pela variável de integração.

Já a integral em j é obtida pelo método de integração polinomial onde somamos 1 no expoente da variável e dividimos ela pelo resultado da soma do seu expoente.

∫ 10 d t i = 10 t i

∫ 10 0 t d t j = 100 t 1 + 1 1 + 1 j = 50 t 2 j

Como as partículas saem da origem, podemos descartar a constante de integração C .

Portanto P 1 será dado por

P → 1 = 10 t i + 50 t 2 j m

E esse é o vetor que descreve a posição da partícula 1 em relação ao tempo.

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Fazendo a mesma coisa para a partícula 2 , temos

P → 2 = ∫ v → 2 d t = ∫ 15 i - 675 t j d t

P → 2 = ∫ 15 d t i - ∫ 675 t d t j

Vamos aplicar os mesmos métodos de integração já que a função é muito parecida

∫ 15 d t i = 15 t i

∫ 675 t d t j = 675 t 1 + 1 1 + 1 j = 675 t 2 2 j

Logo, P → 2 será dado por

P → 2 = 15 t i - 675 t 2 2 j m

Agora com P → 1 e P → 2 obtidos, podemos obter o vetor posição do centro de massa!

P → c m = P → 1 m 1 + P → 2 m 2 m 1 + m 2

Se m 1 = 3 k g e m 2 = 1 k g , então

P → c m = 10 t i + 50 t 2 j 3 + 15 t i - 675 t 2 2 j 1 3 + 1

P → c m = 3 0 t i + 1 50 t 2 j + 15 t i - 675 t 2 2 j 4

Somando os vetores...

P → c m = 45 t i + 150 - 675 2 t 2 j 4

P → c m = 45 t i - 3 75 2 t 2 j 4

P → c m = 45 4 t i - 375 8 t 2 j m

Esse é o vetor posição do centro de massa do sistema!

Bacana, não é? 👀

Passo 4

No item b) queremos sabem em que ponto está o centro de massa no instante t = 2 s .

No passo anterior, descobrimos qual é o vetor posição do centro de massa do sistema, não foi?

Então se quisermos descobrir onde está o centro de massa em t = 2 s substituímos t por 2 em P → c m

P → c m t = 2 s = 45 4 2 i - 375 8 2 2 j m

P → c m t = 2 s = 45 2 i - 375 2 j m

Então o centro de massa está na posição de coordenadas 45 2 , - 375 2 !

Entendeu? 😎

Agora no item c) queremos descobrir qual é o vetor velocidade do centro de massa do sistema nesse mesmo instante t = 2 s .

Como temos o vetor posição do centro de massa e o como dizemos anteriormente, o vetor posição é obtido a partir da integração do vetor velocidade, então fazendo o caminha contrário, o vetor velocidade é obtido a partir da derivada do vetor posição!

v → c m = d P → c m d t = d 45 4 t i - 375 8 t 2 j d t

v → c m = d 45 4 t d t i - d 375 8 t 2 d t j

Pelo método de derivação polinomial, onde multiplicamos a variável pelo seu expoente e subtraímos 1 da sua potência, temos

d 45 4 t d t i = 45 4 t 1 - 1 i = 45 4 i

d 375 8 t 2 d t j = 375 8 2 t 2 - 1 j = 375 4 t j

Então o vetor velocidade é dado por

v → c m = 45 4 i - 375 4 t j m / s

Agora para obter a velocidade do centro de massa no instante t = 2 s , substituímos t por 2

v → c m t = 2 s = 45 4 i - 375 4 2 j m / s

v → c m t = 2 s = 45 4 i - 375 2 j m / s

Portanto esse é o vetor velocidade do centro de massa em t = 2 s !

Está acompanhando até aqui? 🤔

Passo 5

Por fim, no item d) queremos saber qual é o vetor força externa que age no sistema?

Sabemos que a força é dada pelo produto de massa e a aceleração.

F → = m · a →

Então se temos o vetor velocidade do centro de massa, podemos obter o vetor aceleração do centro de massa derivando o vetor velocidade. Correto?

Então podemos adaptar essa fórmula para o nosso caso como

F → = m c m · a → c m

A massa m c m é a soma das massas do sistema, ou seja, m c m = m 1 + m 2

F → = m 1 + m 2 · a → c m

Derivando o vetor v → c m para obter o vetor a → c m , temos

a → c m = d v → c m d t = d 45 4 i - 375 4 t j d t

a → c m = d 45 4 d t i - d 375 4 t d t j

Como em i temos uma constante, a derivada de uma constante é 0 e em j derivamos pelo método de derivação polinomial.

d 45 4 d t i = 0 i

d 375 4 t d t j = 375 4 t 1 - 1 j = 375 4 j

Logo, a → c m é dado por

a → c m = d 45 4 d t i - d 375 4 t d t j

a → c m = 0 i - 375 4 j m / s 2

E substituindo m c m e a → c m em F → , temos

F → = m 1 + m 2 · a → c m

F → = m 1 + m 2 · - 375 4 j

F → = 3 + 1 · - 375 4 j

F → = 4 · - 375 4 j

Com isso, chegamos que a força que atua no sistema é dada pelo vetor

F → = - 375 j N

Entendeu tudo?

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

a) P → c m = 45 4 t i - 375 8 t 2 j m

b) P → c m t = 2 s = 45 2 i - 375 2 j m

c) v → c m t = 2 s = 45 4 i - 375 2 j m / s

d) F → = - 375 j N

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