Ondas Harmônicas
Um pulso, se movendo em uma corda esticada com tensão , é descrita pela função de onda:
- Faça um gráfico de como função de .
- Qual o valor da magnitude da velocidade de propagação do pulso e sua direção?
- Calcule a velocidade transversal de um dado ponto da corda num instante
- Determine a potência instantânea associada a esse pulso e mostre que ela é sempre maior ou igual a zero.
Passo 1
a):
Bom, aqui nós vamos ter que primeiro fazer uma manipulação de variáveis pra encontrar a nossa função :
Isolando no denominador e no numerador:
Se a gente fizer , vamos obter o valor 1. Se a gente fizer tender ao infinito, a função tende a zero, assim como se a gente fizer tender a menos infinito. Logo, o gráfico da função fica:
Passo 2
b) :
Se a gente considerar um observador se movendo na mesma direção do pulso e com a mesma velocidade que ele, esse observador o veria parado, certo? Ou seja, sem dependência temporal.
Se a gente reescrever a função do pulso excluído a parte que funciona como uma função do tempo (no caso , podemos escrever:
Legal...Mas e daí?
Bom, agora a gente tem que pensar em como fizemos essa transformada. Se a gente tomar:
E depois substituir na equação original:
Que é a equação do pulso parado.
Só que a equação é justamente a equação de um móvel se movendo com velocidade na direção positiva do eixo Logo, como estávamos supondo que esse observador estava se deslocando na mesma velocidade que o pulso, a velocidade do pulso será:
Passo 3
c):
Bom, pra se calcular a velocidade transversal de um ponto na corda num instante qualquer, a gente precisa derivar parcialmente a função em relação a . Ou seja:
Isso acontece porque a gente ‘congela’ um qualquer e apenas varia o tempo dele, ou seja, o ponto passa a se mover pra cima e pra baixo, apenas transversalmente.
Passo 4
d):
O que a gente precisa fazer aqui? Bem, basicamente vamos precisar chegar a uma expressão como a do enunciado e provar que ela é sempre positiva. Essa expressão será a expressão da potência instantânea.
Bom:
Opa, mas ainda não sabemos a derivada parcial da função em relação a Vamos calcular:
E a derivada parcial em relação a é:
Logo, substituindo na expressão da potência:
Como a expressão final é um produto de quadrados, a gente conclui que a potência é sempre maior ou igual a 0.