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Exercícios Resolvidos de Área de Superfícies de Revolução

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Enunciado

Passo 1

Vamos começar calculando a derivada da função:

f x = 1 - 4 x 2 1 2

Pela regra da cadeia:

f ' x = 1 2 1 - 4 x 2 - 1 2 . - 8 x

⇒ f ' ( x ) = - 4 x 1 - 4 x 2

⇒ f ' x 2 = 16 x 2 1 - 4 x 2

Passo 2

Aplicando a fórmula:

S = ∫ - 1 2 1 2 2 π 1 - 4 x 2 1 + 16 x 2 1 - 4 x 2 d x

= 2 π ∫ - 1 2 1 2 1 - 4 x 2 + 1 - 4 x 2 16 x 2 1 - 4 x 2 d x

= 2 π ∫ - 1 2 1 2 1 - 4 x 2 + 16 x 2   d x

= 2 π ∫ - 1 2 1 2 1 + 12 x 2   d x

Passo 3

Vamos esquecer por enquanto o problema de área de superfície de revolução e focar em calcular essa integral indefinida:

∫ 1 + 12 x 2   d x

Vamos ajeitá-la pra poder usar uma substituição trigonométrica:

∫ 12 1 12 + x 2 d x

= 12 ∫ 1 12 + x 2   d x

Então fazemos a substituição

x = 1 12 tg ⁡ θ  

Quando

x = - 1 2 → - 1 2 = 1 12 tg ⁡ θ

tg ⁡ θ = - 2 3 2 = - 3

θ = - π 3

Quando

x = 1 2 → 1 2 = 1 12 tg ⁡ θ

tg ⁡ θ = 2 3 2 = 3

θ = π 3

Além disso:

⇒ d x = 1 12 sec 2 ⁡ θ   d θ

Passo 4

Assim temos

1 12 + x 2 = 1 12 + 1 12 tg 2 ⁡ θ

= 1 12 1 + tg 2 ⁡ θ   = sec 2 ⁡ θ 12 = sec ⁡ θ 12

Então a integral vai ficar:

∫ 1 + 12 x 2   d x = 12 ∫ sec ⁡ θ 12 1 12 sec 2 ⁡ θ   d θ

= 1 12 ∫ sec 3 ⁡ θ d θ

Passo 5

Integral da secante ao cubo...nos encontramos novamente. Essa costuma aparecer de vez em quando nos exercícios, tem que saber calcular essa bandida!

Fazemos o seguinte:

sec 3 ⁡ θ = sec ⁡ θ . sec 2 ⁡ θ = sec ⁡ θ tg 2 ⁡ θ + 1

= sec ⁡ θ . tg 2 ⁡ θ + sec ⁡ θ

Ou seja:

∫ sec 3 ⁡ θ d θ = ∫ sec ⁡ θ . tg 2 ⁡ θ d θ + ∫ sec ⁡ θ d θ

Passo 6

A integral da secante já vimos bastante por aí:

∫ sec ⁡ θ d θ = ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ + C

Mas não vamos nos preocupar com a constante, porque depois vamos passar pra uma integral definida mesmo.

Passo 7

E pra calcular:

∫ sec ⁡ θ . tg 2 ⁡ θ d θ

Fazemos

u = tg ⁡ θ ⇒ d u = sec 2 ⁡ θ d θ d v = sec ⁡ θ . tg ⁡ θ d θ ⇒ v = sec ⁡ θ

Assim:

sec ⁡ θ . tg 2 ⁡ θ d θ = u   d v

Fazendo a integração por partes:

∫ sec ⁡ θ . tg 2 ⁡ θ d θ = tg ⁡ θ . sec ⁡ θ - ∫ sec ⁡ θ . sec 2 ⁡ θ d θ

= tg ⁡ θ . sec ⁡ θ - ∫ sec 3 ⁡ θ d θ

Passo 8

Enfim, juntando tudo:

∫ sec 3 ⁡ θ d θ = tg ⁡ θ . sec ⁡ θ - ∫ sec 3 ⁡ θ d θ + ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ

Daí:

2 ∫ sec 3 ⁡ θ d θ = tg ⁡ θ . sec ⁡ θ + ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ

⇒ ∫ sec 3 ⁡ θ d θ = 1 2 tg ⁡ θ . sec ⁡ θ + ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ

Passo 9

Show, então temos

∫ 1 + 12 x 2   d x = 1 12 ∫ sec 3 ⁡ θ d θ

= 1 4 3 tg ⁡ θ . sec ⁡ θ + ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ

Passo 10

Então voltando pra integral definida:

2 π 4 3 ∫ - π 3 π 3 sec 3 ⁡ θ d θ = 2 π 4 3 tg ⁡ θ . sec ⁡ θ + ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ - π 3 π 3

= π 2 3 tg ⁡ π 3 . sec ⁡ π 3 + ln ⁡ sec ⁡ π 3 + tg ⁡ π 3 - π 2 3 tg ⁡ - π 3 . sec ⁡ - π 3 + ln ⁡ sec ⁡ - π 3 + tg ⁡ - π 3

= π 2 3 4 3 + ln ⁡ 2 + 3 - ln ⁡ 2 - 3

= π 2 3 4 3 + ln ⁡ 2 + 3 2 - 3 = π 2 3 4 3 + ln ⁡ 2 + 3 2 - 3 2 + 3 2 + 3

= π 2 3 4 3 + ln ⁡ 2 + 3 2 4 - 3 = 3 π 3 2 3 + ln ⁡ 2 + 3

Resposta

S = 3 π 3 2 3 + ln ⁡ 2 + 3

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