17 - Determine a área da superfície lateral do cone gerado pela rotação, em torno do eixo x , do segmento de reta y = x / 2 , com 0 ≤ x ≤ 4 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema queremos obter a área da superfície que é gerada a partir da rotação da função y = x / 2 em torno do eixo x no intervalo de x entre 0 e 4 .

Tem alguma ideia de como podemos obter essa área? 🤔🤔

Ao rotacionarmos y = x / 2 em torno do eixo x a superfície externa do solido em um ponto qualquer será dado por y .

Dessa forma, o comprimento de uma faixa infinitesimal da superfície será dado por

S = ∫ 1 + d y d x 2 d x

Portanto a área superficial será nada mais que o comprimento S multiplicado por 2 π · r a i o , em que o r a i o é dado por y .

Sacou? 😎

Passo 2

Logo, de maneira geral, quando temos uma curva sendo revolucionada através do eixo x , a área superficial do solido formado é dado por

A = 2 π ∫ x 0 x 1 y 1 + d y d x 2 d x

Onde x 0 e x 1 são os limites da nossa superfície em relação a x .

Podemos começar!

Primeiro temos que obter a derivada de y com relação a x para aplicar na integral. Se y = x 2 , então pelo método de derivação polinomial...

d y d x = d x 2 d x = x 1 - 1 2

d y d x = 1 2

Substituindo y por x / 2 e d y / d x por 1 / 2 em A e substituindo x 0 e x 1 por 0 e 4 , respectivamente, temos

A = 2 π ∫ 0 4 x 2 1 + 1 2 2 d x

A = 2 π ∫ 0 4 x 2 1 + 1 4 d x

A = 2 π ∫ 0 4 x 2 5 4 d x

Como 5 4 é uma constante, podemos tirá-la da integral.

Como a b = a b , então 5 4 = 5 2 ...

A = 2 π 5 2 ∫ 0 4 x 2 d x = 5 π ∫ 0 4 x 2 d x

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Integrando x / 2 pelo método de integração polinomial somando 1 no expoente da variável e a dividindo pelo resultado dessa soma

∫ x 2 d x = x 1 + 1 2 1 + 1 = x 2 4

Aplicando os limites de integração

∫ 0 4 x 2 d x = 4 2 4 - 0 2 4 = 4

Substituindo esse resultado em A , temos

A = 5 π ∫ 0 4 x 2 d x

A = 5 π 4

A = 4 5 π

Com isso, vemos que a área superficial da revolução de y = x / 2 , em 0 ≤ x ≤ 4 , é dada por 4 5 π unidades de área!

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

A = 4 5 π

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