UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - UAMat - Lista 3, Questão 17.
17 - Determine a área da superfície lateral do cone gerado pela rotação, em torno do eixo , do segmento de reta , com .
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Nesse problema queremos obter a área da superfície que é gerada a partir da rotação da função em torno do eixo no intervalo de entre e .
Tem alguma ideia de como podemos obter essa área? 🤔🤔
Ao rotacionarmos em torno do eixo a superfície externa do solido em um ponto qualquer será dado por .
Dessa forma, o comprimento de uma faixa infinitesimal da superfície será dado por
Portanto a área superficial será nada mais que o comprimento multiplicado por , em que o é dado por .
Sacou? 😎
Passo 2
Logo, de maneira geral, quando temos uma curva sendo revolucionada através do eixo , a área superficial do solido formado é dado por
Onde e são os limites da nossa superfície em relação a .
Podemos começar!
Primeiro temos que obter a derivada de com relação a para aplicar na integral. Se , então pelo método de derivação polinomial...
Substituindo por e por em e substituindo e por e , respectivamente, temos
Como é uma constante, podemos tirá-la da integral.
Como , então ...
Tranquilo até aqui? 😁
Passo 3
Integrando pelo método de integração polinomial somando no expoente da variável e a dividindo pelo resultado dessa soma
Aplicando os limites de integração
Substituindo esse resultado em , temos
Com isso, vemos que a área superficial da revolução de , em , é dada por unidades de área!
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
