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Exercícios Resolvidos de Área de Superfícies de Revolução

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Enunciado

UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - UAMat - Lista 3, Questão 19.

19 - Determine a área da superfície de cone gerado pela rotação, em torno do eixo x , do segmento de reta y = x 2 + 1 2 , com 1 ≤ x ≤ 3 .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão, o que queremos obter é a area lateral da superficie gerada através da rotação, em torno do eixo x , da curva y = x 2 + 1 2 no intervalo 1 ≤ x ≤ 3 .

Tem alguma ideia de como podemos fazer para obter essa área? 👀

No caso que a rotação acontece no eixo x , a faixa de largura infinitesimal da superfície é dada por S onde

S = ∫ x 0 x 1 1 + d x d y 2 d x

Onde x 0 e x 1 são os limites de x da nossa superfície.

Mas e a área total da superfície? 🤔

Passo 2

Se S é a linha de comprimento da superfície, se multiplicarmos por 2 π R , vamos obter a área A .

Porém, R é dado pela distância da função até o eixo x , ou seja, por y .

Logo, A é dado por

A = 2 π ∫ x 0 x 1 y 1 + d y d x 2 d x

E essa é a fórmula geral para quando a rotação acontece no eixo x .

Primeiro vamos calcular a derivada de y com relação a x

d y d x = d x 2 + 1 2 d x

Pelo método de derivação polinomial, a derivada de x 2 + 1 2 é dada por

d y d x = x 1 - 1 2 + 1 2 0

d y d x = 1 2

Substituindo d y d x por 1 2 , x 0 por 1 , x 1 por 3 e y por x 2 + 1 2 , temos

A = 2 π ∫ 1 3 x 2 + 1 2 1 + 1 2 2 d x

A = 2 π ∫ 1 3 x 2 + 1 2 1 + 1 4 d x

A = 2 π ∫ 1 3 x 2 + 1 2 5 4 d x

Como 5 4 é uma constante, podemos tirá-la da integral e como a b = a b , então

A = 2 π 5 4 ∫ 1 3 x 2 + 1 2 d x → 2 π 5 2   ∫ 1 3 x 2 + 1 2 d x

A = 5 π   ∫ 1 3 x 2 + 1 2 d x

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Por fim, temos que calcular a integral de x 2 + 1 2 .

Pelo método de integração polinomial, temos

∫ x 2 + 1 2 d x = x 1 + 1 2 1 + 1 + 1 2 x

∫ x 2 + 1 2 d x = x 2 4 + x 2

Aplicando os limites de integração...

∫ 1 3 x 2 + 1 2 d x = 3 2 4 + 3 2 - 1 2 4 + 1 2

∫ 1 3 x 2 + 1 2 d x = 3

Substituindo em A

A = 5 π   ∫ 1 3 x 2 + 1 2 d x → 5 π 3

A = 3 5 π

Com isso, vemos que área lateral da superfície gerada é dada por 3 5 π unidades!

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

A = 3 5 π

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