UFBA, Sem Campus, Cálculo B, Listas de Cálculo B - UFBA - Lista 1, Questão 4.1f
Determine a área da superfície de revolução gerada pela rotação das curvas:
em torno do eixo .
Passo 1
Eaew, tudo bem?
Nós temos que determinar a área da superfície de revolução gerada pela curva
quando rotacionada em torno do eixo . Por sorte, temos uma formulinha que faz exatamente isso, é a seguinte
no entanto a nossa questão nos dá uma função , mas isso é fácil de resolver, vamos isolar em nosso enunciado para obter
Agora, é só ver os limites de integração e calcular o que se pede! Vamos lá!
Passo 2
A derivada de nossa função é bastante simples, temos uma soma de exponenciais, portanto
se elevarmos ao quadrado, temos que
Substituindo então em nossa integral, recalculando os novos limite de integração
podemos simplificar essa expressão juntando ambas as raízes
Essa integral é bastante simples! Mas vamos fazer uma pequena substituição apenas para deixar a sua aparência mais simpática (você não precisa realmente fazer a substituição, mas é bem útil!) Vem comigo!
Passo 3
Se fizermos a substituição
e
podemos deixar a nossa integral com uma carinha mais simpática
como temos que e , de forma que temos que resolver
podemos resolver isso diretamente, e obter
ou simplesmente
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!