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Exercícios Resolvidos de Área de Superfícies de Revolução

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Enunciado

UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - UAMat - Lista 3, Questão 21c.

21 - Determine a área das superfícies geradas pela rotação das curvas em torno do eixo indicado:

c) x = 2 4 - y , com 0 ≤ y ≤ 1 5 / 4 , eixo y .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão temos que obter a área que é formada ao rotacionar a curva x = 2 4 - y em torno do eixo y , no intervalo entre y = 0 e y = 15 4 .

A ideia seria obter a área lateral do solido formado por essa rotação.

Lembra como podemos obter essa área? 🤔

Para rotações pelo eixo y , usamos uma fórmula baseada na fórmula da área da lateral de um cilindro 2 π r h .

A = 2 π ∫ y 0 y 1 x 1 + d x d y 2 d y

No caso, a integral de 1 + d x d y 2 nos da o comprimento da área e a integral de x o raio.

Pronto? 🤩

Passo 2

Primeiro vamos calcular a derivada de x com relação a y

d x d y = d 2 4 - y d y = 2 d 4 - y d y

Pela regra da cadeia, chamando a função de dentro como 4 - y e a função de fora como u , calculamos o produto entre a derivada da função de dentro e a derivada da função de fora.

d x d y = 2 d 4 - y d y · d u d u

Chamando u de u 1 2 , pelo método de derivação polinomial, temos

d 4 - y d y = 4 0 - y 1 - 1 = - 1

d u d u = 1 2 u 1 2 - 1 = 1 2 u

Substituindo esses resultados e substituindo u por 4 - y de volta

d x d y = 2 - 1 1 2 u = - 1 4 - y

Substituindo d x d y , y 0 , y 1 e x em A , vamos obter

A = 2 π ∫ 0 15 4 2 4 - y 1 + - 1 4 - y 2 d y

Como a b 2 = a 2 b 2 e tirando 2 para fora da integral...

A = 4 π ∫ 0 15 4 4 - y 1 + - 1 2 4 - y 2 d y

A = 4 π ∫ 0 15 4 4 - y 1 + 1 4 - y d y

Simplificando...

A = 4 π ∫ 0 15 4 4 - y 4 - y + 1 4 - y d y

A = 4 π ∫ 0 15 4 4 - y 5 - y 4 - y d y

Como a b = a b , então

A = 4 π ∫ 0 15 4 4 - y 5 - y 4 - y   d y

A = 4 π ∫ 0 15 4 5 - y   d y

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Pelo método da substituição, substituindo 5 - y por u , os novos limites de integração, serão dados por

u 0 = 5 - 0 = 5

u 1 = 5 - 15 4 = 5 4

Substituindo d y por d u , calculamos a derivada de d u d y , temos

d u d y = d 5 - y d y

Pelo método de derivação polinomial

d u d y = 5 0 - y 1 - 1 = - 1

Isolando d y ...

d y = - d u

Fazendo as devidas substituições em A , temos que

A = 4 π ∫ 5 5 4 - u   d u

Calculando a integral de u como u 1 2 pelo método de integração polinomial, temos

∫ - u   d u = - u 1 2 + 1 1 2 + 1 = - u 3 2 3 2

∫ - u   d u = - 2 u 3 2 3

Aplicando os limites de integração

∫ 5 5 4 - u   d u = - 2 5 4 3 2 3 - - 2 5 3 2 3 = - 5 5 12 + 10 5 3

∫ 5 5 4 - u   d u = 35 5 12

Substituindo o resultado em A .

A = 4 π 35 5 12

A = 35 π 5 3

Portanto, a área que é formada pela rotação é igual a 35 π 5 3 unidades!

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

A = 35 π 5 3

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