Determine a área da superfície de revolução gerada pela rotação das curvas:

(c) y = 1 - x; 0 ≤ x ≤ 1; em torno do eixo y .

Passo 1

Eaew, tudo bem?

Nós temos que determinar a área da superfície de revolução gerada pela curva

y = 1 - x ; 0 ��� x ≤ 1

quando rotacionada em torno do eixo y . Por sorte, temos uma formulinha que faz exatamente isso, é a seguinte

A = ∫ y 0 y f 2 π g ( y ) 1 + [ g ' ( y ) ] 2 d y

no entanto, o enunciado nos deu uma função y = f ( x ) , e nós queremos uma x = g ( y ) , mas neste caso é bastante direto, temos que

x = g ( y ) = 1 - y

em que os limites de integração serão y i = 0 e y f = 1 (coincidentemente os mesmos que x mas você precisa calcular os valores de y , belezinha?). Vamos lá!

Passo 2

A derivada de nossa função é bastante simples, temos uma soma de exponenciais, portanto

d g d y = g ' [ y ] = - 1

se elevarmos ao quadrado, temos que

[ g ' ( y ) ] 2 = 1

Substituindo então em nossa integral, temos que

A = 2 π ∫ 0 1 [ 1 - y ] 1 + 1 d y = 2 2 π ∫ 0 1 [ 1 - y ] d y

Essa integral é bastante direta! Vamos resolver usando a regrinha da potência já conhecida!

Passo 3

A nossa integral é tal que

A = 2 2 π   ∫ 0 1 d y - 2 2 π ∫ 0 1 y d y = 2 2 π [ y - y 2 2 ] | 0 1

de forma que

A = 2 2 π [ 1 - 1 2 2 ] - 2 2 π [ 0 - 0 2 2 ] = 2 π

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

A = 2 π

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