Quando giramos o gráfico de uma função de classe , , , em torno do eixo , obtemos uma superfície de revolução, cuja área é definida pela integral
(para maiores detalhes, veja o livro do Stewart vol. , seção )
Calcule a área da superfície de revolução obtida pela rotação em torno do gráfico de cada função indicada. Faça um esboço da superfície.
Passo 1
Vamos aplicar a fórmula, ok?
Para isso, precisamos de :
Passo 2
Colocando as informações na integral:
Aqui faremos uma substituição simples, chamando . Quando ;
Agora faremos outra substituição simples, chamando . Quando ; .
Lembrando que pela relação fundamental trigonométrica:
Substituindo na integral:
Passo 3
Integral da secante ao cubo...nos encontramos novamente. Essa costuma aparecer de vez em quando nos exercícios, tem que saber calcular essa bandida!
Fazemos o seguinte:
Ou seja:
Passo 4
A integral da secante já vimos bastante por aí:
Mas não vamos nos preocupar com a constante, porque depois vamos passar pra uma integral definida mesmo.
Passo 5
E pra calcular:
Fazemos
Assim:
Fazendo a integração por partes:
Passo 6
Enfim, juntando tudo:
Daí:
Passo 7
Agora vamos calcular a integral definida:
Para resolver esse , teremos que usar um pouco do nosso conhecimento em trigonometria.
Estamos interessados em . Então vamos tentar descobrir qual o valor do cosseno, ok?
Pela relação fundamental da trigonometria:
Voltando...
Resposta