UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - UAMat - Lista 3, Questão 21a.
21 - Determine a área das superfícies geradas pela rotação das curvas em torno do eixo indicado:
a) , com , eixo .
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Nesse problema, temos que obter a área da superfície gerada a partir da rotação da função , em torno do eixo no intervalo de a .
Tem ideia do que podemos fazer? 🤔
Temos que obter a área da superfície, ou seja, a área lateral do sólido que é formado.
A área lateral, para casos em que a rotação acontece no eixo , a fórmula genérica para obter a área lateral, é dada por
Onde a integral de nos dá o comprimento/altura da área e o raio de cada pedaço. Como por exemplo na área lateral do cilindro !
Tranquilo até aqui? 😁
Passo 2
Agora para calcular a área lateral da superfície, vamos começar calculando a derivada de com relação a , ou seja
Pelo método de derivação polinomial, temos que
Substituindo , , e em , temos
Como , então
é igual a , logo
Podemos tirar da integral...
Sacou? 🤩
Passo 3
Vamos calcular a integral de fazendo uma substituição de variáveis.
Vamos chamar de e consequentemente, os limites de integração serão
Também temos que mudar para , fazendo
Isolando , temos
Aplicando essas substituições em ...
Colocando para fora da integral e calculando a integral de como pelo método de integração polinomial
Aplicando os limites de integração
Entendeu tudo? 🤔
Passo 4
Portanto se
E é igual a , então
Ou seja, a área total da superfície formada pela revolução da curva , entre a , em torno do eixo , resulta em unidades!
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
