UFBA, Sem Campus, Cálculo B, Listas de Cálculo B - UFBA - Lista 1, Questão 4.2
Determine a integral que representa o volume do elipsóide gerado pela rotação da curva , em torno do eixo .
Passo 1
Eaew, tudo certinho?
Temos que calcular a área superficial do sólido de revolução obtido ao rotacionar a elipse
em particular a sua parte superior, ao redor do eixo . Calcular essa área significa resolver a integral
em que pode ser obtido da equação da elipse! Vamos resolver isso então! Vem comigo!
Passo 2
Usando a equação da elipse e o fato que , temos que
Calculando a sua derivada em termos de temos que
elevando ao quadrado, temos que
Vamos juntar tudo em nossa integral, temos que
Agora é uma questão de simplificar e achar os limites de integração! Saca só!
Passo 3
Note que podemos entrar com a primeira raiz dentro da segunda de forma que podemos escrever
apenas para igualar ao gabarito, vamos tirar em evidência, de forma que
Agora só falta avaliar os limites de integração! Note que o tamanho do eixo da elipse que é ao longo do eixo é observando a equação da elipse, de forma que nossa integral é tal que
em que a última igualdade é verdade devido a simetria de nosso elipsóide em relação aos eixos! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!