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Exercícios Resolvidos de Área de Superfícies de Revolução

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Enunciado

UFABC; Funções de Uma Variável; Listas FUV - GRADMAT; Lista 9 - Técnicas de Integração I ; Questão 17

Mostre que a área de um elipsóide de revolução obtido rotacionando a elipse

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

em torno do eixo x é dada por:

2 π a b ( b a + a c s i n - 1 ( c a ) )

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo 1. Dessa vez queremos mostrar que a área da superfície do elipsóide de revolução obtido rotacionando a elipse

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

em torno do eixo x é dada por:

2 π a b ( b a + a c s i n - 1 ( c a ) )

Bem bacana né?

Passo 2

Nosso objetivo é calcular a área de um sólido de revolução. Mas existe uma fórmula fechada para isso? Lembram qual é? vamos revisar!!!

A área da superfície de um sólido de revolução rotacionado no eixo x é dada por:

A = 2 π ∫ u v f ( x ) 1 + f ' ( x ) 2 d x

No nosso caso quem, é a f ( x ) ? E quais são os limites de integração u   e   v ?

Passo 3

Como queremos a área da superfície do elipsóide de revolução obtido rotacionando a elipse

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

temos:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

isolando y

y 2 b 2 = 1 - x 2 a 2

então

y = ± b 2 ( 1 - x 2 a 2 )

Como a elipse é simétrica em torno do eixo x , iremos tomar

f ( x ) = b 2 ( 1 - x 2 a 2 )

Passo 4

Agora vamos obter nosso limite de integração. Para isso vamos fazer um desenho da nossa elipse

Olhando nosso desenho, vemos que os valores de x variam de ( - a , a ) , então esse será nosso limite de integração

Vamos aproveitar e calcular f ' ( x ) .

d d x f ( x ) = d d x   b 2 ( 1 - x 2 a 2 )

Pela regra da cadeia temos

d d x   b 2 ( 1 - x 2 a 2 ) = b 2 ( ( 1 - x 2 a 2 ) ) - 1 * 2 x a 2  

= ( ( 1 - x 2 a 2 ) ) - 1 * b x a 2

Passo 5

Agora, vamos substituir f ( x )   e   f ' ( x ) na fórmula da área de superfície que revisamos

A = 2 π ∫ u v f ( x ) 1 + f ' ( x ) 2 d x

= 2 π ∫ - a a b ( 1 - x 2 a 2 ) * 1 + b 2 x 2 a 4 / ( 1 - x 2 a 2 ) d x

fazendo o mmc na segunda raiz

= 2 b π ∫ - a a ( 1 - x 2 a 2 ) * ( ( 1 - x 2 a 2 ) + b 2 x 2 a 4 ) / ( 1 - x 2 a 2 ) d x

simplificando temos

= 2 b π ∫ - a a ( ( 1 - x 2 a 2 ) + b 2 x 2 a 4 ) d x

Agora vamos manipular um pouco mais a expressão de dentro da integral

= 2 b π ∫ - a a 1 - x 2 a 2 a 4 + b 2 x 2 a 4 d x

colocando x em evidência

= 2 b π ∫ - a a 1 - x 2 ( a 2 - b 2 ) a 4 d x

Passo 6

Agora que chegamos na conclusão que

A = 2 b π ∫ - a a 1 - x 2 ( a 2 - b 2 ) a 4 d x

Vamos resolver essa integral!!! Mas como vamos fazer isso? Primeiro, vamos criar a constante c   =   a 2 - b 2 Então nossa integral fica:

2 b π ∫ - a a 1 - x 2 c 2 a 4 d x

mas e aí será que podemos fazer alguma substituição esperta? Vou dar a dica, sempre que surgir uma raiz com a estrutura 1 ±   c 2 x 2 vale a pena tentar fazer uma substituição com o cosseno. Vamos fazer isso!!

Defino x   =   a 2 c s i n ( u )   ⇒ d x   = a 2 c c o s ( u )   . Substituindo na nossa integral temos:

2 b π ∫ 1 - x 2 c 2 a 4 d x = 2 b π ∫ 1 - s i n 2 ( u ) * a 2 c c o s ( u ) d u

como c o s 2 ( x )   +   s i n 2 ( x )   =   1 , então

2 b π ∫ 1 - s i n 2 ( u ) * a 2 c c o s ( u ) d u = 2 b π ∫ c o s ( u ) * a 2 c c o s ( u ) d u

2 b π ∫ a 2 c c o s 2 ( u ) d u

Passo 7

Agora só nos resta calcular 2 b π ∫ a 2 c c o s 2 ( u ) d u

Mas essa integral é conhecida, temos:

2 b π ∫ a 2 c c o s 2 ( u ) d u   = 2 b π a 2 c ( u 2   +   s i n ( u ) c o s ( u ) 2 )  

retornando para a variável x

x   =   a 2 c s i n ( u )   ⇒   u = s i n - 1 ( c x a 2 )

e

c 2 x 2 a 4   -   1 =   s i n 2 ( u ) - 1 ⇒ c o s ( u )   = a 2 c 1 - c 2 x 2 a 4  

Então:

2 b π a 2 2 c ( u   +   s i n ( u ) c o s ( u ) )     =   2 b π a 2 2 c ( s i n - 1 ( c x a 2 )   + x 1 -   c 2 x 2 a 4   )  

Prontinho, para terminar só precisamos avaliar a integral em ( - a , a ) , então

A   =   2 b π a 2 2 c ( s i n - 1 ( c a a 2 )   + a 1 -   c 2 a 2 a 4   ) - 2 b π a 2 2 c ( s i n - 1 ( c - a a 2 )   - a 1 -   c 2 a 2 a 4   )

Como s i n - 1 ( a )   =   - s i n - 1 ( - a )

=   2 b π a 2 2 c ( s i n - 1 ( c a a 2 )   + 2 b π a 2 2 c ( s i n - 1 ( c a a 2 )   +   2 a 1 -   c 2 a 2 a 4 )

= 2 b π a 2 c ( s i n - 1 ( c a )   + 2 a 1 -   c 2 a 2 )

colocando um a para fora

= 2 b a π ( a c ( s i n - 1 ( c a )   + a 2 c 1 -   c 2 a 2 )

simplificando a raiz

= 2 b a π ( a c ( s i n - 1 ( c a )   + b c )

Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de Calculo 1, espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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