UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - UAMat - Lista 3, Questão 21e
Determine a área das superfícies geradas pela rotação das curvas em torno do eixo indicado:
e) , com , eixo
Passo 1
Ooii gente, como vocês estão?
Todo mundo ansioso pra matar mais uma questão? Hahaha
Aqui, temos que calcular a área da superfície que obtemos ao rotacionar a curva parametrizada por:
em torno do eixo . Beleza?
Mas, como podemos fazer isso? Ainda mais agora que não temos uma curva do tipo , mas sim uma curva parametrizada.
Então gente bonita, quando precisamos calcular a área gerada pela rotação de uma curva parametrizada em torno do eixo , usamos a seguinte expressão:
Excelente! Ou seja, nossa ideia será calcular a derivada dessas componentes, montar a integral e calcular o seu resultado 😊
Passo 2
Pra começar, vamos calcular as derivadas, em relação a , de:
Fazendo isso, teremos para :
Como a derivada da soma é a soma das derivadas, e a derivada de uma constante é nula:
Já para :
Novamente usando que a derivada da soma é a soma das derivadas, ficamos com:
Perfeito!
Passo 3
Agora vamos montar a nossa integral:
Lembrando que, pelo enunciado:
Ou seja, temos e .
Além disso:
E, no passo anterior calculamos as derivadas
Substituindo tudo na integral, teremos:
Perfeito! Agora é só calcularmos a integral 😊
Passo 4
Pra finalizar, precisamos calcular:
Puts, mas essa integral tá meio feiosa né? Será que tem algo que podemos fazer pra deixar ela mais bonitinha?
Hmmm... e se fizermos ?
Hahaha, boa! Quando a gente faz isso, a cara da integral melhora um pouco. Vamos calcular algumas coisinhas antes de fazer essa mudança de variáveis:
Além disso, quando , temos:
E, quando , ficamos com:
Show! Vamos substituir tudo na integral:
Nossa, melhorou bastante né? Temos:
Agora, pra resolver essa integral ainda precisamos fazer mais uma mudança de variáveis. Vamos chamar:
Além disso, os limites de integração serão:
Substituindo tudo novamente na integral (já estamos acabando galeraaa, não vamos desistir agora):
Uhuul! Caímos em uma integral cuja primitiva é tabelada bonitinha. Usando que:
Temos:
Portanto:
Hahaha! Conseguimos gente, vocês curtiram? Responde Aí!