a) A fórmula da área de superfície foi desenvolvida sob o pressuposto de que a função , cujo gráfico gerou a superfície, era não negativa no intervalo de integração. Para curvas que cruzam o eixo de revolução, substituímos a equação pela fórmula de valor absoluto

Use essa equação para determina a área de superfície do cone duplo gerado pela rotação, em torno do eixo , do segmento de reta ,

b) Determine a área de superfície gerada pela rotação, em torno do eixo , da curva

Temos que usar a mesma fórmula que já utilizamos antes para calcular a área da superfície gerada pela rotação de uma função em torno do eixo :

Belezinha até aí?? Então repara só. Nesse intervalo de integração, que vai de a , a função assume valores positivos e negativos. Então ao invés de substituir ali por vou substituir por , beleza?

Para resolver, a primeira coisa que tenho que fazer é dividir os intervalos de integração:

No intervalo , e no intervalo de , . Portanto, escrevemos:

Queremos a área da superfície gerada pela curvaem torno do eixo no intervalo . Novamente, a função assume valores negativos e positivos no intervalo, iremos considerar o seu valor absoluto.

Vamos usar a nossa fórmula velha conhecida:

Como a função assume valores positivos e negativos no intervalo, vou substituir ali na fórmula por

Como a função é simétrica, podemos considerar o intervalo de em que a função é positiva e multiplicar por . Assim:

Para resolver a integral, utilizamos substituição simples:

Voltando para :

Olha o que aconteceria se eu ignorasse as barras de erro e substituísse os limites de integração simplesmente. Eu teria:

Daria zero porque a função é simétrica!