UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - UAMat - Lista 3, Questão 20.
20 - Determine a área da superfície de cone gerado pela rotação, em torno do eixo , do segmento de reta , com .
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nesse problema, temos que obter a área lateral formada através da rotação da curva , em torno do eixo e dentro do intervalo de de a .
Como podemos obter essa área? Tem alguma ideia? 🤔
A rotação se dá em torno do eixo e a curva é dada por também. Antes de começar, temos que fazer umas mudanças na função e nos limites do intervalo do sólido.
Primeiro temos que isolar na função
E antes o intervalo do nosso solido é dado por , agora temos que escrever em função de .
Se é o limite inferior...
Agora se é o limite superior...
Com isso, agora o intervalo que contêm nosso solido é dado por e .
Entendeu essa transformação? 😁
Passo 2
Agora vamos ver o porquê era importante fazer essa transformação.
Para calcular a área lateral de uma superfície de revolução, temos que obter o comprimento da curva e aplicar a fórmula da área lateral do cilindro .
Primeiro, o comprimento da nossa área é dado por
Se o raio é dado pela distância do eixo de rotação até a curva, então podemos dizer que a imagem é nosso raio em cada ponto da área.
Aplicando isso na fórmula , temos que a área é dada por
E essa é a fórmula genérica para curvas rotacionadas ao redor do eixo ! Legal, né?
Primeiro vamos obter a derivada de com relação a
Pelo método de derivação polinomial...
Sacou? 😉
Passo 3
Substituindo que encontramos agora, por em e os limites de integração e , temos
Como é uma constante, podemos tirá-la da integral...
Integrando pelo método de integração polinomial...
Aplicando os limites de integração
Substituindo na integral ...
Logo, vemos que a área lateral do solido gerado é dado por unidades! 😉
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
