20 - Determine a área da superfície de cone gerado pela rotação, em torno do eixo y , do segmento de reta y = x / 2 + 1 / 2 , com 1 ≤ x ≤ 3 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema, temos que obter a área lateral formada através da rotação da curva y = x 2 + 1 2 , em torno do eixo y e dentro do intervalo de x de 1 a 3 .

Como podemos obter essa área? Tem alguma ideia? 🤔

A rotação se dá em torno do eixo y e a curva é dada por y também. Antes de começar, temos que fazer umas mudanças na função e nos limites do intervalo do sólido.

Primeiro temos que isolar x na função

y = x 2 + 1 2 → x 2 = y - 1 2

x = 2 y - 1

E antes o intervalo do nosso solido é dado por x , agora temos que escrever em função de y .

Se x = 1 é o limite inferior...

y 0 = 1 2 + 1 2 = 1

Agora se x = 3 é o limite superior...

y 1 = 3 2 + 1 2 = 2

Com isso, agora o intervalo que contêm nosso solido é dado por y 0 = 1 e y 1 = 2 .

Entendeu essa transformação? 😁

Passo 2

Agora vamos ver o porquê era importante fazer essa transformação.

Para calcular a área lateral de uma superfície de revolução, temos que obter o comprimento da curva x e aplicar a fórmula da área lateral do cilindro 2 π r h .

Primeiro, o comprimento da nossa área é dado por

S = ∫ y 0 y 1 1 + d x d y 2 d y

Se o raio r é dado pela distância do eixo de rotação até a curva, então podemos dizer que a imagem x é nosso raio em cada ponto da área.

Aplicando isso na fórmula S , temos que a área A é dada por

A = 2 π ∫ y 0 y 1 x 1 + d x d y 2 d y

E essa é a fórmula genérica para curvas rotacionadas ao redor do eixo y ! Legal, né?

Primeiro vamos obter a derivada de x com relação a y

d x d y = d 2 y - 1 d y

Pelo método de derivação polinomial...

d x d y = 2 y 1 - 1 - 1 0 = 2

Sacou? 😉

Passo 3

Substituindo d x d y que encontramos agora, x por 2 y - 1 em A e os limites de integração 1 e 2 , temos

A = 2 π ∫ 1 2 2 y - 1 1 + 2 2 d y

A = 2 π ∫ 1 2 2 y - 1 5 d y

Como 5 é uma constante, podemos tirá-la da integral...

A = 2 5 π ∫ 1 2 2 y - 1 d y

Integrando 2 y - 1 pelo método de integração polinomial...

∫ 2 y - 1 d y = 2 y 1 + 1 1 + 1 - 1 y

∫ 2 y - 1 d y = y 2 - y

Aplicando os limites de integração

∫ 1 2 2 y - 1 d y = 2 2 - 2 - 1 2 - 1

∫ 1 2 2 y - 1 d y = 2

Substituindo na integral A ...

A = 2 5 π ∫ 1 2 2 y - 1 d y = 2 5 π 2

A = 4 5 π

Logo, vemos que a área lateral do solido gerado é dado por 4 5 π unidades! 😉

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

A = 4 5 π

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