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Exercícios Resolvidos de Área de Superfícies de Revolução

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Enunciado

Estabeleça uma integral para a área da superfície gerada pela rotação da curva dada em torno do eixo indicado

y = ∫ 1 x t 2 - 1 d t

Com

1 ≤ x ≤ 5

Rotacionando em torno do eixo x

Passo 1

Queremos a expressão da integral para calcular a área da superfície de revolução gerada pela rotação da função definida como

y =   ∫ 1 x t 2 - 1 d t

Em torno do eixo x .

Novamente, basta utilizamos aquela fórmula espertinha para calcular a área de uma superfície de revolução, gerada pela rotação de uma função em torno do eixo x :

  S =   ∫ a b 2 π y   1 + f ´ x 2   d x

Passo 2

Aqui, temos:

f x =   ∫ 1 x t 2 - 1 d t

Nesse caso, para calcularmos f ´ ( x ) vamos resgatar quem? Queeem? Isso mesmo, o teorema mais amado e idolatrado do Cálculo: o TFC!

f ´ x = x 2 - 1

f ´ x 2 = x 2 - 1 2 = x 2 - 1

  S =   ∫ 1 5 2 π   ∫ 1 x t 2 - 1   d t   1 + x 2 - 1   d x

S = 2 π   ∫ 1 5 ∫ 1 x t 2 - 1   d t   x 2   d x

S = 2 π   ∫ 1 5 ∫ 1 x t 2 - 1   d t   x   d x

Repara que ele só pede para obter a integral, ele não pede para calcular a área. Então não precisa se preocupar em encontrar um valor para a integral. A resposta é essa daí!! Acabooou!

Resposta

  S = 2 π   ∫ 1 5 ∫ 1 x t 2 - 1   d t   x   d x

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