UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - UAMat - Lista 3, Questão 21d
Determine a área das superfícies geradas pela rotação das curvas em torno do eixo indicado:
d) , com , eixo
Passo 1
Faaaaala galera, tudo tranquilo com vocês?
Nessa questão temos uma curva parametrizada que é dada por:
formada no intervalo .
Daí, pegamos essa curva e rotacionamos em torno do eixo , obtendo uma superfície de revolução.
O objetivo do exercício é calcular a área dessa superfície.
O grande problema aqui é que a curva foi dada parametrizada, nesses casos, o que podemos fazer pra calcular a área da superfície de revolução?
Então pessoal, quando nos é dada a equação da curva na forma parametrizada, podemos usar a seguinte expressão para o cálculo da área da superfície de revolução em torno do eixo :
Massa!! Ou seja, basicamente precisamos calcular as derivadas das componentes em e em , e depois é só aplicar nessa integral. Bora lá?
Passo 2
A nossa curva parametrizada é dada por:
Assim, derivando cada uma dessas componentes em relação a , temos:
Agora a componente em :
Como a derivada da soma é a soma das derivadas, e a derivada de uma constante é sempre nula, temos:
Show de bola! Vamos então pra nossa integral!
Passo 3
Como vimos no passo , para calcular a nossa área precisamos usar a integral:
No enunciado é falado que a curva está no intervalo . Portanto:
Além disso, vimos no passo anterior que:
E, lembrando que , substituindo na integral de teremos:
Maaaaas, lembram da relação fundamental da trigonometria? Por ela, temos:
Logo, substituindo na nossa integral teremos:
Excelente! Agora é só calcularmos essa integral.
Passo 4
Pra finalizar nossa questão, vamos calcular:
Como a integral da soma é a soma das integrais, temos:
Assim, usando que:
E, também a integral tabelada do , temos:
Portanto:
Uhuuul! É isso, terminamos galera.
Conseguiram entender bem a solução? Responde Aí!