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Exercícios Resolvidos de Área de Superfícies de Revolução

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Enunciado

UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - UAMat - Lista 3, Questão 21b.

21 - Determine a área das superfícies geradas pela rotação das curvas em torno do eixo indicado:

b) x = y 3 3 , com 0 ≤ y ≤ 1 , eixo y .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema, queremos obter a área da superfície que é gerada ao rotacionar a curva x = y 3 3 em torno do eixo y no intervalo entre y = 0 e y = 1 .

Ou seja, a área da superfície lateral do solido que é formado.

Tem ideia de como podemos obter essa área? 🤔

Para revoluções em torno do eixo y , temos uma fórmula geral que usamos que é dada como base da fórmula da área lateral do cilindro 2 π r h .

Essa fórmula é

A = 2 π ∫ y 0 y 1 x 1 + d x d y 2 d y  

Onde a integral de 1 + d x d y 2 nos dá o comprimento/altura da superfície e a integral de x é o raio.

Entendeu? Bora começar!

Passo 2

Primeiro vamos calcular a derivada de x com relação a y

d x d y = d y 3 3 d y

Pelo método de integração polinomial, temos

d x d y = 3 y 3 - 1 3 = y 2

Substituindo d x d y , y 0 , y 1 e x em A , vamos obter

A = 2 π ∫ 0 1 y 3 3 1 + y 2 2 d y = 2 π ∫ 0 1 y 3 3 y 4 + 1 d y

Tirando 1 / 3 para fora da integral...

A = 2 π 3 ∫ 0 1 y 3 y 4 + 1 d y

Para obter a integral de y 3 y 4 + 1 vamos fazer uma mudança de variáveis. Chamando y 4 + 1 de u , os limites de integração vão ser:

Para y = 1 .

u 1 = 1 4 + 1 = 2

Para y = 0 .

u 0 = 0 4 + 1 = 1

E por último, vamos substituir d y por d u , pra isso, derivamos u com relação a y

d u d y = d y 4 + 1 d y

Pelo método de derivação polinomial...

d u d y = 4 y 4 - 1 + 1 0 = 4 y 3

Isolando y 3 d y em um lado da igualdade

y 3 d y = d u 4

Entendeu essa parte? 😉

Passo 3

Substituindo y 3 d y por d u 4 , y 4 + 1 por u e os limites de integração pelos valores de u 0 e u 1 , temos

∫ 0 1 y 3 y 4 + 1 d y → ∫ 1 2 u d u 4

Vamos tirar 1 / 4 da integral e calcular a integral de u como u 1 2 pelo método de integração polinomial

∫ 1 2 u d u 4 → 1 4 ∫ 1 2 u 1 2 d u

Bora lá!

∫ u 1 2 d u = u 1 2 + 1 1 2 + 1 = u 3 2 3 2

∫ u 1 2 d u = 2 u 3 2 3

Aplicando os limites de integração...

∫ 1 2 u 1 2 d u = 2 2 3 2 3 - 2 1 3 2 3 = 4 2 3 - 2 3

∫ 1 2 u 1 2 d u = 4 2 - 2 3

Com isso, se A = 2 π 3 ∫ 0 1 y 3 y 4 + 1 d y ,     ∫ 0 1 y 3 y 4 + 1 d y = 1 4 ∫ 1 2 u 1 2 d u

Então

A = 2 π 3 ∫ 0 1 y 3 y 4 + 1 d y → 2 π 3 · 1 4 ∫ 1 2 u 1 2 d u

Portanto, se ∫ 1 2 u 1 2 d u = 4 2 - 2 3 , então A = 2 π 3 · 1 4 · 4 2 - 2 3

A = π 2 2 - 1 9

Ou seja, a área formada pela rotação da curva x = y 3 3 é dada por π 2 2 - 1 9 unidades!

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

A = π 2 2 - 1 9

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