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Exercícios Resolvidos de Área de Superfícies de Revolução

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Enunciado

UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - UAMat - Lista 3, Questão 21f

Determine a área das superfícies geradas pela rotação das curvas em torno do eixo indicado:

f) x = e t - t ,   y = 4 e t 2 ,   com 0 ≤ t ≤ 1 , eixo x

Passo 1

Eaaaaaai pessoaaaal, quem tá animado pra matar mais uma questãoo?

Nesse exercício nos é dada uma curva parametrizada:

{ x = e t - t   y = 4 e t 2             ,   0 ≤ t ≤ 1

Essa curva é rotacionada em torno do eixo x , gerando uma superfície de revolução. Nosso objetivo é calcular a área dessa superfície.

Alguma ideia de como podemos fazer isso?

Então pessoal, quando nos é dada a equação da curva na forma parametrizada, podemos usar a seguinte expressão para o cálculo da área da superfície de revolução em torno do eixo x :

A x = 2 π ∫ t 1 t 2 y ⋅ d x d t 2 + d y d t 2 d t

Perfeitoo! Bora então calcular essas derivadas, montar a integral, e calculá-la. Show?

Passo 2

Devemos calcular as derivadas das componentes em x e em y . Começando por x :

d x d t = e t - t '

Como a derivada da soma é a soma das derivadas:

d x d t = e t ' - t '

= e t - 1

Boaa! Agora calculando a derivada da componente em y :

d y d t = 4 e t 2 '

Como:

e k t ' = k ⋅ e k t

Temos:

d y d t = 4 ⋅ 1 2 e t 2

= 2 ⋅ e t 2

Prontinho!

Passo 3

Agora vamos montar a integral de A x :

A x = 2 π ∫ t 1 t 2 y ⋅ d x d t 2 + d y d t 2 d t

Como no enunciado foi dado o intervalo 0 ≤ t ≤ 1 , temos t 1 = 0 e t 2 = 1 .

Além disso:

y = 4 ⋅ e t 2

E, como calculamos no passo anterior:

{ d x d t = e t - 1   d y d y = 2 ⋅ e t 2  

Substituindo tudo na integral, teremos:

A x = 2 π ⋅ ∫ 0 1 4 ⋅ e t 2 ⋅ e t - 1 2 + 2 e t 2 2 d t

Boaaa!

Passo 4

Agora é só a gente calcular a integral e matar mais uma questão 😊

A x = 2 π ⋅ ∫ 0 1 4 ⋅ e t 2 ⋅ e t - 1 2 + 2 e t 2 2 d t

Melhorando a expressão dentro da raiz:

e t - 1 2 + 2 e t 2 2   =   e 2 t - 2 e t + 1 + 4 e t

= e 2 t + 2 e t + 1

Hmmmm... isso lembra algo a vocês?

É justamente o nosso binômio do quadrado da soma, olha:

e 2 t + 2 e t + 1 = e t + 1 2 = e t + 1

Muito bom! Substituindo de volta na integral, vamos ter:

2 π ⋅ ∫ 0 1 4 ⋅ e t 2 ⋅ e t - 1 2 + 2 e t 2 2 d t = 2 π ⋅ ∫ 0 1 4 e t 2 ⋅ e t + 1 d t

= 2 π ⋅ ∫ 0 1 4 e 3 t 2 + 4 e t 2 d t

Como a integral da soma é a soma das integrais:

A x = 2 π ⋅ ∫ 0 1 4 e 3 t 2 d t + ∫ 0 1 4 e t 2 d t

Daí, a gente pode usar daquelas integrais clássicas que devemos sempre ter em mente:

∫ a b e k t d t = e k t k a b

Assim:

A x = 2 π ⋅ 4 ⋅ e 3 t 2 3 2 0 1 + e t 2 1 2 0 1

= 8 π ⋅ 2 e 3 2 3 - 2 3 + 2 e 1 2 - 2

Portanto, só organizando um pouquinho:

A x = 8 π ⋅ 2 ⋅ e 3 2 3 + e 1 2 - 8 3

A x = 16 π 3 ⋅ ( e 3 2 + 3 e 1 2 - 8 )

Ufaaaa! Terminamossss!Espero que vocês tenham gostado da solução 😊

Resposta

16 π 3 ⋅ ( e 3 2 + 3 e 1 2 - 8 )

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