UFBA, Sem Campus, Cálculo B, Listas de Cálculo B - UFBA - Lista 1, Questão 4.1b
Determine a área da superfície de revolução gerada pela rotação das curvas:
em torno do eixo .
Passo 1
Eaew, tudo bem?
Nós temos que determinar a área da superfície de revolução gerada pela curva
quando rotacionada em torno do eixo . Por sorte, temos uma formulinha que faz exatamente isso, é a seguinte
ou seja, precisamos ver os limites de integração (o problema muito bonzinho já nos deu) e calcular a derivada da função antes de aplicar a fórmula! Vamos lá!
Passo 2
A derivada de nossa função é bastante simples, temos uma soma de exponenciais, portanto
se elevarmos ao quadrado, temos que
Substituindo então em nossa integral, temos que
Note que se derivarmos o que está dentro da raíz iremos obter o que está fora da raiz (a menos de uma constante), então podemos usar substituição simples! Vamos fazer isso!
Passo 3
Usando a substituição simples da forma
e
de forma que temos que
e a nossa integral se torna
em que e , de forma que precisamos apenas resolver
Vamos que vamos terminar esse problema!
Passo 4
Fazendo a nossa integral, obtemos finalmente
ou simplesmente
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!