UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - UAMat - Lista 3, Questão 18.
18 - Determine a área da superfície lateral do cone gerado pela rotação, em torno do eixo , do segmento de reta , com .
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nesse problema, temos que obter a área da superfície lateral que é formada ao rotacionar a função em torno do eixo entre e .
Sabe como podemos obter essa área? 🤔
Primeiro, como a rotação acontece no eixo , temos que fazer algumas mudanças na função e nos seus limites.
Isolando em um lado de , temos
Assim, como varia de a , então para
Com essas mudanças podemos começar nosso problema!
Vamos chamar de uma faixa lateral à superfície de largura infinitesimal que é dada por
Entendeu essa parte? 🤔
Passo 2
Como é uma linha que corta a superfície, se multiplicarmos por em que o raio é dado pela distância do eixo até a curva , logo, o é igual a .
Agora, para obter a área , vamos derivar em relação a , ou seja
Pelo método de derivação polinomial, temos
Substituindo esse resultado em
Como é uma constante, podemos tirá-la da integral
Tranquilo até aqui? 😎
Passo 3
O último passo é calcular a integral de .
Pelo método de integração polinomial, somamos no expoente de e o dividimos por essa soma...
Aplicando os limites de integração
Substituindo esse resultado em , temos
Portanto, a área lateral da rotação da curva no intervalo que queremos é igual a unidades de medida!
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
