18 - Determine a área da superfície lateral do cone gerado pela rotação, em torno do eixo y , do segmento de reta y = x / 2 , com 0 ≤ x ≤ 4 .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema, temos que obter a área da superfície lateral que é formada ao rotacionar a função y = x / 2 em torno do eixo y entre x = 0 e x = 4 .

Sabe como podemos obter essa área? 🤔

Primeiro, como a rotação acontece no eixo y , temos que fazer algumas mudanças na função e nos seus limites.

Isolando x em um lado de y = x / 2 , temos

x = 2 y

Assim, como x varia de 0 a 4 , então para y

{ x 0 = 0 → y 0 = 0   x 1 = 4 → y 1 = 2  

Com essas mudanças podemos começar nosso problema!

Vamos chamar de S uma faixa lateral à superfície de largura infinitesimal que é dada por

S = ∫ y 0 y 1 1 + d x d y 2 d y

Entendeu essa parte? 🤔

Passo 2

Como S é uma linha que corta a superfície, se multiplicarmos por 2 π · r a i o em que o raio é dado pela distância do eixo y até a curva x , logo, o r a i o é igual a 2 y .

A = 2 π ∫ 0 2 2 y 1 + d x d y 2 d y

Agora, para obter a área A , vamos derivar x em relação a y , ou seja

d x d y = d 2 y d y

Pelo método de derivação polinomial, temos

d x d y = 2 y 1 - 1 = 2

Substituindo esse resultado em A

A = 2 π ∫ 0 2 2 y 1 + 2 2 d y = 2 π ∫ 0 2 2 y 5 d y

Como 2 5 é uma constante, podemos tirá-la da integral

A = 4 5 π ∫ 0 2 y d y

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

O último passo é calcular a integral de y .

Pelo método de integração polinomial, somamos 1 no expoente de y e o dividimos por essa soma...

∫ y d y = y 1 + 1 1 + 1 = y 2 2

Aplicando os limites de integração

∫ 0 2 y d y = 2 2 2 - 0 2 2

∫ 0 2 y d y = 2

Substituindo esse resultado em A , temos

A = 4 5 π ∫ 0 2 y d y

A = 4 5 π 2

A = 8 5 π

Portanto, a área lateral da rotação da curva y = x / 2 no intervalo que queremos é igual a 8 5 π unidades de medida!

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

A = 8 5 π

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