Determine a área da superfície de revolução gerada pela rotação das curvas:

(a) y = (e^x + e^(-x)) / 2; -1 ≤ x ≤ 1; em torno do eixo x .

Passo 1

Eaew, tudo bem?

Nós temos que determinar a área da superfície de revolução gerada pela curva

y = e x + e - x 2 ;   - 1 ≤ x ≤ 1

quando rotacionada em torno do eixo x . Por sorte, temos uma formulinha que faz exatamente isso, é a seguinte

A = ∫ x 0 x f 2 π f ( x ) 1 + [ f ' ( x ) ] 2 d x

ou seja, precisamos ver os limites de integração (o problema muito bonzinho já nos deu) e calcular a derivada da função antes de aplicar a fórmula! Vamos lá!

Passo 2

A derivada de nossa função é bastante simples, temos uma soma de exponenciais, portanto

d y d x = f ' [ x ] = 1 2 [ e x - e - x ]

se elevarmos ao quadrado, temos que

[ f ' ( x ) ] 2 = 1 4 [ e x - e - x ] 2

Substituindo então em nossa integral, temos que

A = π ∫ - 1 1 [ e x + e - x ] 1 + 1 4 [ e x - e - x ] 2 d x

Esta integral parece muuuuito difícil, maaaas, na verdade, temos algumas vantagens! Saca só!

Passo 3

Se lembrarmos as relações hiperbólicas da forma

s e n h ( x ) = 1 2 [ e x - e - x ] e c o s h ( x ) = 1 2 [ e x + e - x ]

e como existe a relação trigonométrica 1 = c o s h 2 ( x ) - s e n h 2 ( x ) , de forma que podemos escrever a nossa integral como

A = 2 π ∫ - 1 1 c o s h ( x ) 1 + s e n h 2 ( x ) d x = 2 π ∫ - 1 1 c o s h 2 ( x ) d x

voltando a relação exponencial para o cosseno hiperbólica, de forma que

A = π 2 ∫ - 1 1 [ e x + e - x ] 2 d x = π 2 ∫ - 1 1 e 2 x d x + π ∫ - 1 1 d x + π 2 ∫ - 1 1 e - 2 x d x

resolvendo as integrais temos que

A = π 4 e 2 x | - 1 1 + π x | - 1 1 - π 4 e - 2 x | - 1 1

expandindo os limites de integração obtemos

A = π 4 [ e 2 - 1 e 2 ] + 2 π - π 4 [ 1 e 2 - e 2 ] = π 2 [ e 2 + 4 - e - 2 ]

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

A = π 2 [ e 2 + 4 - e - 2 ]

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