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Exercícios Resolvidos de Derivação Logarítmica

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Enunciado

Passo 1

Começamos usando a Regra do Produto nesse termo aí:

f x = ln ⁡ x x x ln ⁡ x

= ln ⁡ x x ' x ln ⁡ x + ln ⁡ x x x ln ⁡ x '

Vamos usar a derivação logarítmica pra cada um dos termos!

Passo 2

Na primeira das derivadas, teremos:

y = ln ⁡ x x → ln ⁡ y = ln ⁡ ln ⁡ x x

Podemos botar o expoente para frente

ln ⁡ y = x ln ⁡ ln ⁡ x

Agora é só fazer a derivação implícita:

y ' y = x ' ln ⁡ ln ⁡ x + x ln ⁡ ln ⁡ x '

y ' y = 1 ln ⁡ ln ⁡ x + x ln ⁡ x ' ln ⁡ x

y ' y = ln ⁡ ln ⁡ x + x 1 x ln ⁡ x

y ' = y ln ⁡ ln ⁡ x + 1 ln ⁡ x

Porém, y = ln ⁡ x x . Então,

y ' = ln ⁡ x x 2 x ln ⁡ x + x

Passo 3

Na primeira das derivadas, teremos:

y = x ln ⁡ x → ln ⁡ y = ln ⁡ x ln ⁡ x

Podemos botar o expoente para frente

ln ⁡ y = ln ⁡ x ln ⁡ x = ln ⁡ x 2

Agora é só fazer a derivação implícita:

y ' y = ln ⁡ x 2 ' = 2 ln ⁡ x ln ⁡ x '

y ' = y 2 ln ⁡ x 1 x

Porém, y = x ln ⁡ x . Então,

y ' = x ln ⁡ x 2 ln ⁡ x x

Passo 4

Assim, ficamos com:

f ' x = ln ⁡ x x ' x ln ⁡ x + ln ⁡ x x x ln ⁡ x '

= ln ⁡ x x 2 x ln ⁡ x + x x ln ⁡ x + ln ⁡ x x x ln ⁡ x 2 ln ⁡ x x

= ln ⁡ x x x ln ⁡ x 2 x ln ⁡ x + x + 2 ln ⁡ x x

Resposta

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