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Exercícios Resolvidos de Derivação Logarítmica

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Rubens Sucupira - Lista 3, Questão 17f

17. Use derivação logarítmica para calcular as derivadas das funções a seguir:

f) f x = 1 - x 2 x + 1 2 / 3

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema temos que calcular a derivada da função f x = 1 - x 2 x + 1 2 / 3 pelo método de derivação logarítmica.

Lembra como fazemos isso? 🤔

A ideia por trás desse método é simplificar alguns casos em que temos x no expoente de algo e queremos calcular a derivada desse algo ou também quando temos um polinômio elevado a um expoente muito grande. Mas também nada nos impede de calcular a derivada de uma função qualquer a partir desse método.

Dada uma função f x aplicamos l n nos dois lados da igualdade

y = f x → ln ⁡ y = ln ⁡ f x

Assim, aplicando uma derivada implicita derivamos nos dois lados fazendo

ln ⁡ y ' = ln ⁡ f x '

1 y y ' = ln ⁡ f x '

y ' = y ln ⁡ f x '

Dessa forma, podemos usar as propriedades logarítmicas para simplificar nossos cálculos como ln ⁡ a · b = ln ⁡ a + ln ⁡ b , ln ⁡ a / b = ln ⁡ a - ln ⁡ b , ln ⁡ a b = b ln ⁡ a ...

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Nesse caso, f x = 1 - x 2 x + 1 2 / 3 , aplicando l n nos dois lados...

ln ⁡ y = ln ⁡ 1 - x 2 x + 1 2 / 3

Aplicando a propriedade de quociente do logaritmo, temos

ln ⁡ y = ln ⁡ 1 - x 2 - ln ⁡ x + 1 2 / 3

Podemos reescrever 1 - x 2 como 1 - x 2 1 2

ln ⁡ y = ln ⁡ 1 - x 2 1 2 - ln ⁡ x + 1 2 / 3

Agora pela propriedade do expoente

ln ⁡ y = 1 2 ln ⁡ 1 - x 2 - 2 3 ln ⁡ x + 1

Derivando implicitamente nos dois lados...

1 y y ' = d 1 2 ln ⁡ 1 - x 2 - 2 3 ln ⁡ x + 1 d x

Agora é só aplicar o que já sabemos...

Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas...

1 y y ' = d 1 2 ln ⁡ 1 - x 2 d x - d 2 3 ln ⁡ x + 1 d x

1 y y ' = 1 2 d ln ⁡ 1 - x 2 d x - 2 3 d ln ⁡ x + 1 d x

Isolando y '

y ' = y 1 2 d ln ⁡ 1 - x 2 d x - 2 3 d ln ⁡ x + 1 d x

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora podemos derivar cada termo separadamente...

Começando por ln ⁡ 1 - x 2 aplicando a regra da cadeia, ou seja, a derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora

d ln ⁡ 1 - x 2 d x = d 1 - x 2 d x · d ln ⁡ u d u = - 2 x · 1 u

d ln ⁡ 1 - x 2 d x = - 2 x u

Como u = 1 - x 2 , então

d ln ⁡ 1 - x 2 d x = - 2 x 1 - x 2

Para a derivada de ln ⁡ x + 1 faremos a mesma coisa

d ln ⁡ x + 1 d x = d x + 1 d x · d ln ⁡ v d v = 1 · 1 v

d ln ⁡ x + 1 d x = 1 v

Voltando v para x + 1

d ln ⁡ x + 1 d x = 1 x + 1

Bacana, não é? 😉

Passo 4

Substituindo essas derivadas em y '

y ' = y 1 2 d ln ⁡ 1 - x 2 d x - 2 3 d ln ⁡ x + 1 d x

y ' = y 1 2 - 2 x 1 - x 2 - 2 3 1 x + 1

Organizando um pouquinho...

y ' = y - 2 x 2 1 - x 2 - 2 3 x + 1

y ' = y - 2 x 3 x + 1 + 2 2 1 - x 2 2 1 - x 2 3 x + 1

y ' = y - 6 x x + 1 + 4 1 - x 2 6 1 - x 2 x + 1

Como y = f x = 1 - x 2 x + 1 2 / 3 então

y ' = 1 - x 2 x + 1 2 / 3 - 6 x x + 1 + 4 1 - x 2 6 1 - x 2 x + 1

y ' = - 1 - x 2 x + 1 2 / 3 6 x x + 1 + 4 1 - x 2 6 1 - x 2 x + 1

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

y ' = - 1 - x 2 x + 1 2 / 3 6 x x + 1 + 4 1 - x 2 6 1 - x 2 x + 1

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