A derivada da função f : R → R dada por:

f(x) = (1 + cos^2(x))^e^x

É:

Passo 1

Temos um problema nessa questão que é a presença da variável tanto na base quanto no expoente. Para escapar disso, vamos aplicar o ln:

y = 1 + cos 2 ⁡ x e x ⟹ ln ⁡ y = ln ⁡ 1 + cos 2 ⁡ x e x ⟹ ln ⁡ y = e x ln ⁡ 1 + cos 2 ⁡ x

Passo 2

Agora dá para derivar implicitamente usando as técnicas usuais. Nesse caso, usamos a regra do produto e cadeia:

1 y ⋅ y ' = e x ' ln ⁡ 1 + cos 2 ⁡ x + e x ln ⁡ 1 + cos 2 ⁡ x '

Para o primeiro, é simples:

e x ' = e x

Já para o segundo, usamos a regra da cadeia:

ln ⁡ 1 + cos 2 ⁡ x ' = 1 1 + cos 2 ⁡ ( x ) ⋅ 2 cos ⁡ x ⋅ - sen ⁡ x = - 2 cos ⁡ ( x ) sen ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ ( x )

Substituindo:

… = 1 y ⋅ y ' = e x ln ⁡ 1 + cos 2 ⁡ x - 2 e x cos ⁡ ( x ) sen ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ ( x )

Passo 3

Agora, é só isolar y ' = f ' ( x ) :

f ' x = y e x ln ⁡ 1 + cos 2 ⁡ x - 2 e x cos ⁡ ( x ) sen ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ ( x )  

Ops, e esse y aí? Para não ficar com ele na resposta, lembre-se que ele é o f ( x ) dado no problema:

f ' x = 1 + cos 2 ⁡ x e x e x ln ⁡ 1 + cos 2 ⁡ x - 2 e x cos ⁡ ( x ) sen ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ ( x )

Prontinho!

Resposta

f ' x = 1 + cos 2 ⁡ x e x e x ln ⁡ 1 + cos 2 ⁡ x - 2 e x cos ⁡ ( x ) sen ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ ( x )

Letra (d)

Exercícios Resolvidos de Derivação Logarítmica

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