17. Use derivação logarítmica para calcular as derivadas das funções a seguir:

c) f(z) = [(z^2 - 5)^3] / [(z^2 + 4)^2]

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema temos que calcular a derivada da função f z = z 2 - 5 3 z 2 + 4 2 pelo método de derivação logarítmica.

Lembra como fazemos isso? 🤔

A ideia por trás desse método é simplificar alguns casos em que temos x no expoente de algo e queremos calcular a derivada desse algo ou também quando temos um polinômio elevado a um expoente muito grande. Mas também nada nos impede de calcular a derivada de uma função qualquer a partir desse método.

Dada uma função f x aplicamos l n nos dois lados da igualdade

y = f x → ln ⁡ y = ln ⁡ f x

Assim, aplicando uma derivada implicita derivamos nos dois lados fazendo

ln ⁡ y ' = ln ⁡ f x '

1 y y ' = ln ⁡ f x '

y ' = y ln ⁡ f x '

Dessa forma, podemos usar as propriedades logarítmicas para simplificar nossos cálculos como ln ⁡ a · b = ln ⁡ a + ln ⁡ b , ln ⁡ a / b = ln ⁡ a - ln ⁡ b , ln ⁡ a b = b ln ⁡ a ...

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Nesse caso, f z = z 2 - 5 3 z 2 + 4 2 , aplicando l n nos dois lados...

ln ⁡ y = ln ⁡ z 2 - 5 3 z 2 + 4 2

Aplicando a propriedade de quociente do logaritmo, temos

ln ⁡ y = ln ⁡ z 2 - 5 3 - ln ⁡ z 2 + 4 2

Também a regra do expoente

ln ⁡ y = 3 ln ⁡ z 2 - 5 - 2 ln ⁡ z 2 + 4

Derivando implicitamente nos dois lados...

1 y y ' = d 3 ln ⁡ z 2 - 5 - 2 ln ⁡ z 2 + 4 d z

Agora é só aplicar o que já sabemos...

Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas...

1 y y ' = d 3 ln ⁡ z 2 - 5 d z - d 2 ln ⁡ z 2 + 4 d z

1 y y ' = 3 d ln ⁡ z 2 - 5 d z - 2 d ln ⁡ z 2 + 4 d z

Isolando y '

y ' = y 3 d ln ⁡ z 2 - 5 d z - 2 d ln ⁡ z 2 + 4 d z

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora podemos derivar cada termo separadamente...

Começando por ln ⁡ z 2 - 5

d ln ⁡ z 2 - 5 d z = d z 2 - 5 d z · d ln ⁡ u d u = 2 z · 1 u

d ln ⁡ z 2 - 5 d z = 2 z u

Como u = z 2 - 5 , então

d ln ⁡ z 2 - 5 d z = 2 z z 2 - 5

Agora para o termo ln ⁡ z 2 + 4

d ln ⁡ z 2 + 4 d z = d z 2 + 4 d z · d ln ⁡ v d v = 2 z · 1 v

d ln ⁡ z 2 + 4 d z = 2 z v

Voltando v para z 2 + 4

d ln ⁡ z 2 + 4 d z = 2 z z 2 + 4

Bacana, não é? 😊

Passo 4

Substituindo as derivadas em y '

y ' = y 3 d ln ⁡ z 2 - 5 d z - 2 d ln ⁡ z 2 + 4 d z

y ' = y 3 2 z z 2 - 5 - 2 2 z z 2 + 4

y ' = y 6 z z 2 - 5 - 4 z z 2 + 4

Como y = f z = z 2 - 5 3 z 2 + 4 2

y ' = z 2 - 5 3 z 2 + 4 2 6 z z 2 - 5 - 4 z z 2 + 4

Simplificando o resultado...

y ' = z 2 - 5 3 z 2 + 4 2 6 z z 2 + 4 - 4 z z 2 - 5 ( z 2 - 5 ) z 2 + 4

y ' = z 2 - 5 2 z 2 + 4 3 6 z z 2 + 4 - 4 z z 2 - 5

y ' = 6 z z 2 - 5 2 z 2 + 4 2 - 4 z z 2 - 5 3 z 2 + 4 3

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

y ' = 6 z z 2 - 5 2 z 2 + 4 2 - 4 z z 2 - 5 3 z 2 + 4 3

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