UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Rubens Sucupira - Lista 3, Questão 17c
17. Use derivação logarítmica para calcular as derivadas das funções a seguir:
c)
Passo 1
E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!
Nesse problema temos que calcular a derivada da função pelo método de derivação logarítmica.
Lembra como fazemos isso? 🤔
A ideia por trás desse método é simplificar alguns casos em que temos no expoente de algo e queremos calcular a derivada desse algo ou também quando temos um polinômio elevado a um expoente muito grande. Mas também nada nos impede de calcular a derivada de uma função qualquer a partir desse método.
Dada uma função aplicamos nos dois lados da igualdade
Assim, aplicando uma derivada implicita derivamos nos dois lados fazendo
Dessa forma, podemos usar as propriedades logarítmicas para simplificar nossos cálculos como , , ...
Sacou? Bora começar! 😉
Passo 2
Nesse caso, , aplicando nos dois lados...
Aplicando a propriedade de quociente do logaritmo, temos
Também a regra do expoente
Derivando implicitamente nos dois lados...
Agora é só aplicar o que já sabemos...
Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas...
Isolando
Tranquilo até aqui? 😉
Passo 3
Agora podemos derivar cada termo separadamente...
Começando por
Como , então
Agora para o termo
Voltando para
Bacana, não é? 😊
Passo 4
Substituindo as derivadas em
Como
Simplificando o resultado...
O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊
